Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $4$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(Oyz)$ và $(Oxz)$ lần lượt là $M_1(0;3;-5)$ và $M_2(-2;0;-5)$. Tọa độ của điểm $M$ là:

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=3a,AB=a$. Khi đó, côsin của góc giữa hai véctơ $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;1;-2)$ và $B(2;-3;5)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA=2MB$. Tọa độ điểm $M$ là:

Trong một nhà máy thông minh, hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập để điều hành các thiết bị tự động, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Mặt sàn nhà máy nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một bộ định tuyến phát sóng Wi-Fi được treo tại vị trí $A(1;2;12)$, một cảm biến đo chấn động được gắn ngầm dưới nền nhà máy tại vị trí $B(10;14;-8)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt sàn. Một robot tự hành $M$ di chuyển trên mặt sàn và luôn giữ khoảng cách đến bộ định tuyến $A$ bằng $15\text{ m}$. Biết rằng robot $M$ có nhiệm vụ đồng bộ dữ liệu với cảm biến $B$ và quá trình này đạt độ ổn định cao nhất khi khoảng cách giữa robot và cảm biến là nhỏ nhất.
[IMAGE:img_q15_robot]

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=3\text{ m},B{B}^{\prime }=BC=4\text{ m}$, tại $C$ có một tổ kiến. Kiến 1 xuất phát từ $A^{\prime }$ bò về tổ với vận tốc $0,02\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A^{\prime }B,BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $D{C}^{\prime },C^{\prime }C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi khi kiến 2 còn cách tổ $1\text{ m}$ thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
[IMAGE:img_q19_ants]