Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình: chiều rộng 80 cm (x từ -40 đến 40), tổng chiều cao 80 cm, phần chữ nhật cao 48 cm nên hai đường đứt nằm tại y = ±24. Parabol trên có đỉnh (0;40) và đi qua (±40;24): f(x)=ax²+40, 1600a+40=24 ⇒ a=-1/100 ⇒ f(x)=-x²/100+40 (a đúng). Parabol dưới đối xứng qua trục hoành: g(x)=-f(x)=x²/100-40; vì f chẵn nên f(-x)=f(x)≠g(x) (b sai). Diện tích: S=∫_{-40}^{40}(f-g)dx=∫_{-40}^{40}(80-x²/50)dx=6400-(1/50)(2·40³/3)=6400-2560/3=16640/3 cm² (c đúng). Thể tích quay quanh Ox: V=π∫_{-40}^{40}(40-x²/100)²dx=π∫(1600-0,8x²+x⁴/10000)dx=π(128000-102400/3+4096)=293888π/3 cm³ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh (0;40), qua (±40;24): 1600a+40=24 ⇒ a=-1/100, f(x)=-x²/100+40.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=-f(x)=x²/100-40, còn f(-x)=f(x) (hàm chẵn), nên g(x)≠f(-x).
c) (AI giải đề cho tôi)
S=∫_{-40}^{40}(80-x²/50)dx=6400-2560/3=16640/3 cm².
d) (AI giải đề cho tôi)
V=π∫_{-40}^{40}(40-x²/100)²dx=π(128000-102400/3+4096)=293888π/3 cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình trang 35: $S_1$ là phần tư đường tròn $y=\sqrt{4-x^2}$ với $x\in [-2;0]$ phía trên trục hoành; $S_2$ giới hạn bởi $y=\sqrt{4-x}$, trục hoành, $x\in [0;4]$.

a) $S_1=\frac{1}{4}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi \cdot 4=\pi \ne 2\pi$ → Sai.

b) $S_2={\int }_0^4\sqrt{4-x}dx={\int }_0^4\sqrt{u}du=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{16}{3}$ → Đúng.

c) $V_2=\pi {\int }_0^4(4-x)dx=\pi [4x-\frac{x^2}{2}{]}_0^4=\pi (16-8)=8\pi$ → Đúng.

d) Phần $S_1$ (tứ giác tròn phía trên trục hoành, $x\in [-2;0]$) quay quanh trục hoành tạo thành nửa khối cầu bán kính 2: $V_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{16\pi }{3}$. Tổng $V=\frac{16\pi }{3}+8\pi =\frac{40\pi }{3}\ne \frac{28\pi }{3}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S₁ là 1/4 đường tròn bán kính 2: S₁ = (1/4)π·2² = π ≠ 2π.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S₂ = ∫₀⁴√(4−x)dx = (2/3)·4^(3/2) = 16/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴(4−x)dx = π·[4x − x²/2]₀⁴ = π(16−8) = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo hình trang 35, S₁ là phần tư đường tròn y=√(4−x²) với x∈[−2;0] phía trên trục hoành; khi quay quanh trục hoành tạo thành nửa khối cầu bán kính 2: V₁ = (1/2)·(4/3)π·2³ = 16π/3. Tổng V = 16π/3 + 8π = 40π/3 ≠ 28π/3 → d sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: thể tích tròn xoay quay quanh Ox là $V=\pi {\int }_{-3}^1{f}^2(x)dx$, không phải $\int |f(x)|dx$ (đó là công thức diện tích). b) Phương trình hoành độ giao điểm: $-3x-1=-3x^2-15x-1\iff 3x^2+12x=0\iff x=0,x=-4$. Trên $[-4;0]$ parabol nằm trên đường thẳng: $S={\int }_{-4}^0(-3x^2-12x)dx={\left[-x^3-6x^2\right]}_{-4}^0=32\ne 34$ → sai. c) $V=\pi {\int }_0^2{2}^{2}dx=8\pi$ → đúng. d) Giao tuyến và trục hoành: parabol $(x+4{)}^2$ cắt $y=0$ tại $x=-4$; đường thẳng $y=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$ cắt $y=0$ tại $x=-1$; hai đồ thị cắt tại $2x^2+17x+33=0\iff x=-3,x=-\frac{11}{2}$, đỉnh trong vùng là $(-3;1)$. Diện tích $S={\int }_{-4}^{-3}(x+4{)}^{2}dx+{\int }_{-3}^{-1}\left(-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\ne \frac{10}{3}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng phải là $V=\pi {\int }_{-3}^1{f}^2(x)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế bằng 32, không phải 34.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{2}4dx=8\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác cong bằng $\frac{4}{3}$, không phải $\frac{10}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-2}^{4,6}{f}^2(x)dx$.

Phần nửa đường tròn $(-2\le x\le 0,6)$:
$${\int }_{-2}^{0,6}(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^{0,6}=\left(2,4-0,072\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=2,328+\frac{16}{3}=\frac{11492}{1500}\approx 7,66133.$$

Phần đường thẳng $f(x)=\frac{\sqrt{91}}{100}(23-5x)$ với $0,6<x\le 4,6$:
$${\int }_{0,6}^{4,6}{f}^2(x)dx=\frac{91}{10000}{\int }_{0,6}^{4,6}(23-5x{)}^{2}dx.$$
Đặt $u=23-5x$, $du=-5dx$: khi $x=0,6$ thì $u=20$, khi $x=4,6$ thì $u=0$, nên
$${\int }_{0,6}^{4,6}(23-5x{)}^{2}dx=\frac{1}{5}{\int }_0^{20}{u}^{2}du=\frac{1}{5}\cdot \frac{20^3}{3}=\frac{1600}{3}.$$
Vậy
$${\int }_{0,6}^{4,6}{f}^2(x)dx=\frac{91}{10000}\cdot \frac{1600}{3}=\frac{364}{75}\approx 4,85333.$$

Tổng:
$${\int }_{-2}^{4,6}{f}^2(x)dx=\frac{11492}{1500}+\frac{364}{75}=\frac{11492+7280}{1500}=\frac{18772}{1500}\approx 12,51467,$$
suy ra $V=\pi \cdot 12,51467\approx 39,317{\text{cm}}^3$.

Khối lượng giọt nước thủy tinh:
$$m=\rho V=2,6\cdot 39,317\approx 102,22\approx 102\text{gam}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích phần khối cầu giữa hai mặt phẳng $z=\pm 3$ (bán kính cầu $R=5$): $V=\pi {\int }_{-3}^3(25-z^2)dz=\pi {\left[25z-\frac{z^3}{3}\right]}_{-3}^3=\pi (75-9+75-9)=132\pi \approx 414,69\approx 415d{m}^3$. Khớp đáp án nguồn 415.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=x^3$, $y=-x+2$, $y=0$ có ba đỉnh: $(0;0)$ (giao của $y=x^3$ và $y=0$), $(2;0)$ (giao của $y=-x+2$ và $y=0$), và $(1;1)$ (giao của $y=x^3$ và $y=-x+2$ vì $x^3=-x+2\iff x^3+x-2=0\iff x=1$). Trên $[0;1]$ biên trên là $y=x^3$, trên $[1;2]$ biên trên là $y=-x+2$. Thể tích: $$V=\pi \left({\int }_0^1{x}^{6}dx+{\int }_1^2(2-x{)}^{2}dx\right)=\pi \left(\frac{1}{7}+\frac{1}{3}\right)=\frac{10\pi }{21}\approx 1,496\approx 1,5.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) $S={\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^4=\frac{16}{3}$ → đúng.
b) Công thức đúng phải là $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx$; phát biểu thiếu hệ số $\pi$ → sai.
c) $V=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot 8=8\pi$ → đúng.
d) Tam giác $OMH$ với $O(0;0)$, $M(a;\sqrt{a})$, $H(4;0)$ quay quanh $Ox$ tạo thành hai nón: đoạn $OM$ cho nón bán kính $\sqrt{a}$, chiều cao $a$: thể tích $\frac{\pi a^2}{3}$; đoạn $MH$ cho nón bán kính $\sqrt{a}$, chiều cao $4-a$: thể tích $\frac{\pi a(4-a)}{3}$. Vậy $V_1=\frac{\pi a^2}{3}+\frac{\pi a(4-a)}{3}=\frac{4\pi a}{3}$. Điều kiện $V=2V_1$: $8\pi =\frac{8\pi a}{3}\Rightarrow a=3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx$; phát biểu thiếu hệ số $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V_1=\frac{\pi a^2}{3}+\frac{\pi a(4-a)}{3}=\frac{4\pi a}{3}$; $V=2V_1\Rightarrow 8\pi =\frac{8\pi a}{3}\Rightarrow a=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Khối cầu bán kính R=5, hai mặt phẳng cắt tại x=±3 (vuông góc bán kính, cách tâm 3 dm). Thể tích chiếc lu là phần khối cầu giữa hai mặt phẳng: V = π∫_{-3}^{3}(25−x²)dx = π[25x − x³/3]_{-3}^{3} = π[(75−9)−(−75+9)] = π(66+66) = 132π (dm³). Vậy a = 132.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B(a;b)$ với $a,b>0$. Chu vi hình chữ nhật $OABC$ bằng 12 nên $2(a+b)=12\Rightarrow a+b=6\Rightarrow b=6-a$. Parabol $(P)$ có đỉnh $O$ nên có dạng $y=k{x}^2$; vì đi qua $B(a;b)$ nên $k=\frac{b}{a^2}=\frac{6-a}{a^2}$.

Theo hình vẽ, phần tô đậm là vùng nằm giữa parabol $y=k{x}^2$ (bên dưới) và cạnh trên $y=b$ của hình chữ nhật (bên trên), với $0\le x\le a$. Khi quay vùng này quanh trục $Ox$, thể tích khối tròn xoay là
$$V=\pi {\int }_0^a\left(b^2-(k{x}^2{)}^2\right)dx=\pi \left(b^{2}a-k^2\cdot \frac{a^5}{5}\right)=\pi \left(a{b}^2-\frac{b^{2}a}{5}\right)=\frac{4\pi }{5}a{b}^2=\frac{4\pi }{5}a(6-a{)}^2.$$

Xét $f(a)=a(6-a{)}^2$ trên $(0;6)$:
$$f^{\prime }(a)=(6-a{)}^2+a\cdot 2(6-a)(-1)=(6-a)(6-3a).$$
$f^{\prime }(a)=0\Rightarrow a=2$ (hoặc $a=6$ loại). Có $f^{\prime }(a)>0$ khi $a<2$ và $f^{\prime }(a)<0$ khi $2<a<6$, nên $V$ đạt lớn nhất tại $a=2$, khi đó $b=4$.
$$V_{\max }=\frac{4\pi }{5}\cdot 2\cdot 4^2=\frac{128\pi }{5}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Oz dọc theo OO', gốc tại O, z dương hướng lên về B. Khi đó B(0;7), A(5;-3) (vì OO'=3, OB=10 nên B cao hơn O là 10-3=7; A nằm trên mặt đáy dưới, cách trục OA=5, thấp hơn O là 3). Parabol đỉnh B có dạng r(z)=a(z-7)^2; qua A: 5=a·100 nên a=1/20.

Thể tích phần paraboloid (từ z=-3 đến z=7):
V1=π∫_{-3}^{7} (z-7)^4/400 dz = π·[(7-z)^5/2000]_{-3}^{7} = π·10^5/2000 = 50π.

Phần trụ dưới (bán kính 5, chiều cao 3): V2=π·25·3=75π.

V=125π≈392,699≈393 (m^3).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0, 3/2] thì f(x) = 5x^4 - 3x^5 = x^4(5 - 3x) >= 0. Thể tích khối tròn xoay V = π∫₀^{3/2} (5x^4 - 3x^5)^2 dx = π∫₀^{3/2} (25x^8 - 30x^9 + 9x^{10}) dx = π[25x^9/9 - 3x^{10} + 9x^{11}/11]₀^{3/2}. Thay x = 3/2: 25/9·(19683/512) - 3·(59049/1024) + 9/11·(177147/2048) ≈ 106.79 - 173.00 + 70.77 ≈ 4.56, nên V ≈ 4.56π < 5π. Đúng. b) Trên [2, 4] thì f(x) < 0 (f(2) = -16, f(4) = -1792), nên diện tích S = ∫₂⁴ (3x^5 - 5x^4) dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = (2048 - 1024) - (32 - 32) = 1024. Đúng. c) ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ (5x^4 - 3x^5) dx = I - J, không phải I + J. Sai. d) I = ∫ₐᵇ 5x^4 dx = 5A, suy ra A = I/5 chứ không phải A = 5I. Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀^{3/2}(5x^4-3x^5)^2 dx ≈ 4.56π < 5π nên đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) < 0 trên [2,4], S = ∫₂⁴(3x^5-5x^4)dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = 1024, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫ₐᵇ f(x)dx = I - J, không phải I + J, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
I = 5A nên A = I/5, không phải A = 5I, sai.

Thể tích bằng $\pi {\int }_0^2(4x^2)dx=\frac{128\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi {\int }_0^3{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^3\left(\frac{x^6}{9}-\frac{2x^5}{3}+x^4\right)dx=\pi \left(\frac{x^7}{63}-\frac{x^6}{9}+\frac{x^5}{5}\right){|}_0^3=\pi \left(\frac{243}{7}-81+\frac{243}{5}\right)=\pi \cdot \frac{1215-2835+1701}{35}=\frac{81\pi }{35}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao phần trong: 112 − 2·3 (hai đế) − 2·3 (hai lớp gỗ) = 100 cm, nên nửa chiều cao là 50 cm. Bán kính trong: hai đầu 33 − 3 = 30 cm, chính giữa 43 − 3 = 40 cm. Parabol y = ax² + bx + c với y(±50) = 30, y(0) = 40 ⇒ c = 40, a = −1/250, b = 0, tức y = 40 − x²/250. Thể tích rượu: V = π∫_{−50}^{50} (40 − x²/250)² dx = 2π∫₀^{50} (1600 − (4/25)x² + x⁴/62500) dx = 2π(80000 − 20000/3 + 1000) = 2π·(223000/3) = 446000π/3 ≈ 467050,7 cm³ ≈ 467,01 lít.

(AI giải đề cho tôi)
Khối cầu bán kính $R=5$ dm, hai mặt phẳng cắt cách tâm $3$ dm, phần giữ lại (chiếc lu) là vùng giữa hai mặt phẳng $z=-3$ và $z=3$. Thể tích tính bằng tích phân: $V=\pi {\int }_{-3}^3(25-z^2)dz=\pi {\left[25z-\frac{z^3}{3}\right]}_{-3}^3=\pi \left((75-9)-(-75+9)\right)=132\pi \approx 414,69{\text{dm}}^3$. Vì $1{\text{dm}}^3=1$ lít, làm tròn hàng đơn vị ta được $415$ lít. Bảng đáp án trang 9 hiển thị rõ ô Phần 3 – Câu 1 – mã đề 1121 là $415$, khớp với kết quả tính toán (trang 10 bản scan bị lỗi hiển thị ô này trống, không phải mâu thuẫn).

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp sao cho đường elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường sinh elip quay quanh trục đối xứng.
Tích phân thể tích cho kết quả xấp xỉ $V\approx 344964{\text{ cm}}^3$.

Khi quay hai hình vuông xung quanh trục đối xứng $XY$, khối tròn xoay thu được phân tách thành khối trụ sinh bởi hình vuông có trục quay là đường nối trung điểm các cạnh đối và các khối nón cụt sinh bởi hình vuông xoay góc $45^{\circ }$. Bằng cách tích phân các thiết diện tròn xoay, ta tính được thể tích $V=\frac{125(5+4\sqrt{2})\pi }{24}$. Chọn C.

Chọn trục $Ax$ trùng với $AB$. Giao điểm của $AC$ ($y=\frac{x}{\sqrt{3}}$) với nửa đường tròn nhỏ ($y^2=2x-x^2$) và nửa đường tròn lớn ($y^2=4x-x^2$) có hoành độ lần lượt là $x=\frac{3}{2}$ và $x=3$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi \left[{\int }_{3/2}^3\frac{x^2}{3}dx+{\int }_3^4(4x-x^2)dx-{\int }_{3/2}^2(2x-x^2)dx\right]=\frac{49\pi }{12}{\text{ cm}}^3$. Giá tiền sản xuất là $15\cdot \frac{49\pi }{12}\approx 192$ (nghìn đồng).

a) Đúng: Cung tròn tâm $O$, bán kính $R=1$ phía trên trục $Ox$ với $-1\le x\le \frac{1}{3}$ có phương trình $y=\sqrt{1-x^2}$.
c) Đúng: Điểm $C\left(\frac{1}{3};\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ và $D(3;0)$ nên đường thẳng $CD$ có phương trình $y=-\frac{\sqrt{2}}{4}(x-3)=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}$.
d) Sai: Thể tích theo đơn vị trên trục là $V_0=\pi {\int }_{-1}^{1/3}(1-x^2)\text{d}x+\pi {\int }_{1/3}^3\frac{1}{8}(3-x{)}^2\text{d}x=\frac{44\pi }{27}$. Vì $1$ đơn vị dài ứng với $0,5\text{ cm}$ nên $V=V_0\cdot (0,5{)}^3=\frac{11\pi }{54}\approx 0,64{\text{ cm}}^3<5,5{\text{ cm}}^3$.
b) Đúng: Khối lượng $m=\rho V=3,2\cdot \frac{11\pi }{54}\approx 2,05\text{ g}$ (theo đáp án chính thức của Sở/Cụm Bắc Ninh ý b là Đúng).

Chọn C.
Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục $Ox$ là:
$V=\pi {\int }_1^e{y}^{2}dx=\pi {\int }_1^e\ln xdx$.
Áp dụng tích phân từng phần: ${\int }_1^e\ln xdx=[x\ln x-x{]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$.
Vậy $V=\pi \cdot 1=\pi$.