Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$ tính theo công thức nào dưới đây?

Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;2)$ và $B(3;3;0)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y+2z-10=0$ và $(Q):2x+y+2z-3=0$. Khi đó hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AB=5,AD=4,A{A}^{\prime }=8$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ trùng với điểm $A$; các tia $AD,AB,A{A}^{\prime }$ lần lượt trùng với các tia $Ox,Oy,Oz$ (tham khảo hình vẽ).

Một bể chứa dầu ban đầu có $50000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ $0\le t\le 24$. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít.

Trong một cuộc đua thuyền, đội $A$ chèo thuyền với vận tốc không đổi $v_A=12\text{m/s}$. Tại thời điểm đội $B$ cách vạch đích $100\text{m}$ thì đội $A$ ở phía sau đội $B$ một khoảng $15\text{m}$. Lúc này đội $B$ đang chèo thuyền với vận tốc $v_B=8\text{m/s}$ bắt đầu tăng tốc với gia tốc $a=0,5{\text{m/s}}^2$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+3=0$ và các điểm $A(1;2;3)$, $B(0;-1;2)$, $C(1;3;-2)$.

Viên gạch men dùng để lát nền nhà là một hình vuông có cạnh bằng $60\text{cm}$ như hình vẽ. Mỗi viên gạch có $4$ bông hoa, mỗi bông hoa gồm $4$ cánh hoa. Mỗi cánh hoa (phần màu xanh) là phần giao nhau của hai hình tròn có cùng bán kính và khoảng cách giữa hai tâm là $15\sqrt{2}\text{cm}$.

Ước tính ở công đoạn tráng men, phần màu xanh có chi phí $40$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$, còn phần màu trắng có chi phí $30$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Nếu cơ sở dự định sản xuất $175000$ viên gạch như trên thì chi phí của công đoạn tráng men này bằng bao nhiêu tỉ đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Biết rằng ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\sin x+x)\mathrm{d}x=\frac{a{\pi }^2+b\sqrt{2}+c}{32}$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị $abc$ bằng bao nhiêu?

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng với tốc độ là $v(t)=-\frac{2}{5}t+4(\text{km/h})$. Nếu coi thời điểm ban đầu $t=0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu $\text{km}$?

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An $0,5\text{m}$ và cách Nam $4,5\text{m}$ được mô tả bằng hình vẽ bên dưới:

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax+y+cz+d=0$ và vuông góc với mặt đất. Giá trị của $a^2+c^2+d^2$ bằng bao nhiêu?

Người ta thiết kế của một thùng rượu có bán kính các đáy là $0,3\text{m}$, chiều cao là $1\text{m}$ bằng cách quay quanh trục hoành một miền phẳng $(H)$ là phần gạch sọc như hình bên dưới, trong đó $SO=0,4\text{m}$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Thể tích của thùng rượu (đơn vị: ${\text{dm}}^3$) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;-2),B(-2;4;4)$ và mặt phẳng $(P):x-2y-z+5=0$. Gọi điểm $M(a;b;c)$ thay đổi thuộc $(P)$ sao cho $|MA-MB|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?