Điểm nào trong hình bên dưới là điểm biểu diễn cho số phức $z=-2+i$ trong mặt phẳng $Oxy$?

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$. Khi đó, tọa độ của $\vec{u}$ bằng

Tính $\int \left(6-\frac{1}{x}\right)dx$ ta được kết quả bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(0;1;-4)$ và bán kính $R=4$, có phương trình là

Xét một hình trụ tùy ý có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ và đường sinh $l$. Chọn khẳng định đúng.

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa $F(1)=8,F(3)=2$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức $\frac{a^{2/3}}{\sqrt{a}}$ bằng

Cho hai số phức $z_1=2+i,z_2=3i$, khi đó, $z_1-z_2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(2;1;-1)$, $N(0;2;1)$. Đường thẳng $MN$ nhận vectơ nào sau đây làm vectơ chỉ phương?

Một khối chóp có chiều cao bằng $4a$ và diện tích đáy bằng $3a^2$. Thể tích khối chóp đó là

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{2}x\le 1$ là

Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào liệt kê dưới đây?

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$?

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Nếu ${\int }_{-4}^{4}f(x)dx=12$ thì ${\int }_{-2}^{2}f(2x)dx$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$, mặt bên $SBC$ vuông góc với đáy và $H$ là trung điểm cạnh $BC$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$. Khi đó, thể tích khối trụ đã cho bằng

Cho ${\int }_0^1\frac{x}{x+1}dx=a+b\ln 2$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Khi đó tích $ab$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-6z-16=0$ có bán kính bằng

Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$. Biết cạnh $AB=a$ và chiều cao của lăng trụ bằng $2a$. Thể tích của lăng trụ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^2(x-2{)}^2$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z+3-2i|=2$ là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng

Hàm số $f(x)=x^4-2x^2+1$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Trong hộp có 9 bi xanh, 5 bi đỏ (các viên bi khác nhau). Có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi trong đó có đúng 1 viên bi đỏ?

$\int \sin 2xdx$ bằng

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a\ne 1$, đặt $P=a^{{\log }_{a}b}+{\log }_a{b}^6$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $f^{\prime }(x)$ là đường cong như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có đồ thị như đường cong trong hình bên dưới. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tính góc giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A^{\prime }D$.

Cho số phức $z$ thỏa $(i-1)z+2=0$. Điểm biểu diễn của $z$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là điểm nào sau đây?

Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Biết góc giữa mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Cho số phức $z$ thỏa $|z+1-4i|=|z-5|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=|z+3-2i|$.

Biết hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $x[f^{\prime }(x)-x]=f(x)$. Nếu $f(1)=2$ thì tích phân ${\int }_1^4{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Xét các số thực với $a\ne 0,b>0$ sao cho phương trình $a{x}^3-x^2+b=0$ có ít nhất hai nghiệm thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức $a^{2}b$ bằng

Cần sản xuất một cái bồn chứa dạng hình trụ (có cả hai đáy), có thể tích $1000{\text{ dm}}^3$ bằng inox để chứa nước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;3;9),B(-3;7;-7)$. Xét mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A,B$ và có tâm thuộc $(Oxy)$. Bán kính mặt cầu $(S)$ nhỏ nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=8+t\\ y=5+2t\\ z=8-t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{-7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là

Chu kỳ bán rã của chất Radium-226 là 1590 năm (tức là sau 1590 năm khối lượng của chất giảm còn một nửa giá trị ban đầu). Gọi $m(t)=m_0{e}^{kt}$ là khối lượng của chất Radium-226 (tính bằng miligram) còn lại sau $t$ năm ($m_0$ là khối lượng ban đầu, $k$ là số thực). Một mẫu Radium-226 có khối lượng 100 mg. Sau 1000 năm khối lượng mẫu đó còn bao nhiêu? (kết quả chính xác đến miligram).

Chọn ngẫu nhiên 5 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 20. Xác suất để chọn được 5 số nguyên dương liên tiếp bằng

Xét số phức $z$ thỏa $(z-2)(\bar{z}+2)$ là số thuần ảo và số phức $w$ thỏa $|z-w|\le 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|2w-4|-|z-4|$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=5$ và điểm $A(0;4;3)$. Một điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu $(S)$ và luôn cách trục $Oz$ một khoảng bằng 2. Khi đó, độ dài đoạn thẳng $AM$ lớn nhất bằng

Một người thiết kế mô hình một cái đèn ngủ bằng nhựa có hình dạng như hình vẽ 3D ở hình 1. Hình 2 là mặt cắt bởi mặt phẳng cắt đi qua trục của đèn, hình 3 là bản vẽ toán học. Tam giác $ABC$ trong hình 3 là tam giác đều cạnh $4\sqrt{3}\text{ dm}$ và $M,N,P$ là trung điểm các cạnh, $G$ là trọng tâm của tam giác. Phần tô đậm trong hình 3 được tạo bởi giao nhau của các cặp cung tròn đi qua 3 điểm là: $AGB$ và $AGC$, $PGN$ và $PGM$, $PGN$ và $NGM$ (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc đèn ngủ được tạo thành khi xoay phần tô đậm trong hình 3 quanh trục là đường thẳng $AM$. Tính thể tích của mô hình cái đèn ngủ này (làm tròn đến 3 chữ số thập phân).


*Hình 1: Vật thể 3D*


*Hình 2: Mặt cắt qua trục*


*Hình 3: Bản vẽ toán học*

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{3}y-(\log (x^2+1)+\log x{)}^3=3\left(\log \frac{x}{y}+\frac{1}{{\log }_{x^2+1}10}\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=x(y-8x)+2$.

Xét hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $(0;2024)$ sao cho ứng với mỗi giá trị $m$, hàm số $y=f\left(\frac{x}{x-m}\right)$ đồng biến trên khoảng $(1;2)$?