Xét các số thực với $a\ne 0,b>0$ sao cho phương trình $a{x}^3-x^2+b=0$ có ít nhất hai nghiệm thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức $a^{2}b$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$. Hãy tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho bất phương trình $f(3x+1)+9x^2-6x+1\le m$ đúng với mọi $x\in [0;1]$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{\cos x+m^2+3m}{\cos x+2}$ ($m$ là tham số thực). Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;\pi ]$ là $M$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa $M\le -1$.

Cho hàm bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ



Số giá trị nguyên không vượt quá 2025 của tham số $m$ để bất phương trình $x^3-18x^2+81x+6\le m.f(x)$ nghiệm đúng với mọi giá trị $x$ thuộc đoạn $[1;9]$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^3-3x+4m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thực trong $\left[-3;4\right]$?

Cho các số thực $x$, $y$ thỏa mãn $5+16.4^{x^2-2y}=\left(5+4^{2x^2-4y}\right).7^{2y-x^2+2}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{10x+6y+26}{2x+2y+5}$. Tổng giá trị $M+m$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên dưới và $f(1)=-5;f(3)=15$.

Xét hàm số $g(x)=\left|f(x)+m\right|$. Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$ trên đoạn $[1;3]$ bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của tập $S$ có giá trị bằng