Cho hàm số $y=f(x)=\frac{\cos x+m^2+3m}{\cos x+2}$ ($m$ là tham số thực). Hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;\pi ]$ là $M$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa $M\le -1$.

1. Cho hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên $(C)$ các điểm $M$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ của $(C)$ tạo với hai đường tiệm cận của $(C)$ một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

2. Cho nửa hình cầu bán kính $r$ không đổi. Một hình nón có chiều cao $h$, bán kính đáy là $r_1$. Hãy xác định $h$ và $r_1$ để diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất biết rằng mặt ngoài của hình nón tiếp xúc của mặt cầu và 2 đường tròn đáy đồng tâm và cùng thuộc 1 mặt phẳng.

Ông An có 24 phòng trọ cho thuê để ở với giá 500.000đ/tháng thì không có phòng nào bỏ trống. Nếu tăng lên mỗi phòng 100.000đ phòng/tháng thì có 1 phòng bỏ trống. Số phòng bỏ trống này có thể cho thuê làm kho với giá cố định 450.000đ phòng/tháng. Hàng tháng ông An thuê ông Bình quản lý mỗi phòng cho thuê để ở với giá 50.000đ phòng/tháng và 40.000đ phòng/tháng đối với phòng cho thuê làm kho. Hỏi ông An phải cho thuê mỗi phòng là giá bao nhiêu để được lợi nhuận cao nhất (đơn vị nghìn đồng).

Một công ty sản xuất mỗi bồn chứa nước dạng khối trụ không nắp bằng nguyên liệu là một quả cầu nhựa đặc ruột bán kính 33cm. Để đảm bảo kỹ thuật và độ bền thì bồn nước có bề dày thành bồn và đáy là 4cm. Tính thể tích lớn nhất của bồn nước (phần chứa được nước) tính theo đơn vị mét khối, làm tròn đến hàng phần chục.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\frac{4}{x}$ trên $(0;4)$ là

Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo sản phẩm mới. Số tiền đầu tư quảng cáo là $A$ (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm: $q(A)=1000+\frac{1013}{3}\ln (1+A)$ (đơn vị: sản phẩm). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu tỉ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Nhà thầy Hùng cách bờ biển 1 km. Mỗi buổi sáng thầy chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển 500 m, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển 400 m, cách nhà thầy Hùng 1 km (tham khảo hình vẽ minh họa) và vận tốc chạy của thầy không thay đổi trong cả quá trình chạy.



Khi thời gian chạy của thầy Hùng ngắn nhất, quãng đường mà thầy Hùng đã chạy từ nhà ra đến bờ biển dài bao nhiêu km (làm tròn đến hàng phần trăm).