Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo sản phẩm mới. Số tiền đầu tư quảng cáo là $A$ (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm: $q(A)=1000+\frac{1013}{3}\ln (1+A)$ (đơn vị: sản phẩm). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu tỉ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

1.1. Cho hàm số $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $E(4;1)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$. Tính diện tích tam giác $EAB$.

1.2. Một khu đất trống bằng phẳng hình chữ nhật $ABCD$, bên cạnh là một hồ nước có dạng nửa hình tròn đường kính $AD$ (như hình vẽ). Từ vị trí $A$, anh Nghĩa chạy bộ theo đường gấp khúc $AEFD$ (trong đó $E$, $F$ là hai vị trí bất kì trên đoạn $BC$). Vận tốc chạy bộ của anh Nghĩa trên các đoạn $AE$ và $FD$ là 6 km/h, trên đoạn $EF$ là 10 km/h. Sau đó, từ vị trí $D$, anh Nghĩa chèo thuyền với vận tốc 5 km/h đến vị trí $G$ trên bờ hồ rồi tiếp tục chạy bộ theo bờ hồ với vận tốc 7 km/h để quay về vị trí $A$. Hỏi thời gian ngắn nhất mà anh Nghĩa di chuyển từ $A$ theo cách trên rồi quay lại $A$ là bao nhiêu giờ? Biết $AB=0,5$ km, $AD=1$ km và $DG=0,5$ km.

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30cm và chiều dài 80cm (hình a) người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh $x$ (cm) với $5\le x\le 10$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp (hình b). Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30cm và chiều dài 80cm (hình a) người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh $x$ (cm) với $5\le x\le 10$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp (hình b). Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất $x$ bình nước tinh khiết loại 20 lít thì phải chi phí các khoản sau: 1 triệu đồng chi phí cố định; 2 nghìn đồng cho mỗi vỏ bình; $100x^2$ đồng chi phí điện, nước và bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là 200 bình và giá bán mỗi bình nước là 30000 đồng. Hỏi cơ sở nên sản xuất bao nhiêu bình nước một ngày để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một công ty muốn xây một đường ống dẫn từ một điểm $A$ trên bờ biển đến một điểm $B$ trên một hòn đảo. Giá để xây đường ống trên bờ là 30 triệu đồng mỗi km và 50 triệu đồng để xây mỗi km dưới nước. Gọi $C$ là điểm trên bờ biển sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển, $BC=6$ km, $AC=9$ km. Gọi $M$ là vị trí trên đoạn $AC$ sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc $AMB$ thì chi phí ít nhất (tham khảo hình vẽ). Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một công ty muốn xây một đường ống dẫn từ một điểm $A$ trên bờ biển đến một điểm $B$ trên một hòn đảo. Giá để xây đường ống trên bờ là 30 triệu đồng mỗi km và 50 triệu đồng để xây mỗi km dưới nước. Gọi $C$ là điểm trên bờ biển sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển, $BC=6$ km, $AC=9$ km. Gọi $M$ là vị trí trên đoạn $AC$ sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc $AMB$ thì chi phí ít nhất (tham khảo hình vẽ). Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).