Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x^3-3x^2+2\right)=m^2-3m$ có nghiệm thuộc đoạn $[1;3]$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2+2$ với $x\in [1;3]$. Ta có $g^{\prime }(x)=3x(x-2)$, nên $g$ giảm trên $[1;2]$ từ $g(1)=0$ xuống $g(2)=-2$, rồi tăng lên $g(3)=2$. Vậy $g([1;3])=[-2;2]$.

Phương trình $f(x^3-3x^2+2)=m^2-3m$ có nghiệm thuộc $[1;3]$ khi và chỉ khi phương trình $f(t)=m^2-3m$ có nghiệm $t\in [-2;2]$.

Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số liên tục, đạt giá trị nhỏ nhất $-2$ (khoảng $t$ gần $0,5$) và giá trị lớn nhất $4$ (tại $t=2$), do đó $f([-2;2])=[-2;4]$ (hàm liên tục nên đạt mọi giá trị trung gian).

Vậy cần $-2\le m^2-3m\le 4$, tức:
- $m^2-3m\ge -2\iff m^2-3m+2\ge 0\iff m\le 1$ hoặc $m\ge 2$;
- $m^2-3m\le 4\iff m^2-3m-4\le 0\iff -1\le m\le 4$.

Giao hai điều kiện: $m\in [-1;1]\cup [2;4]$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-1,0,1,2,3,4\}$, gồm 6 giá trị.

Đáp án B.