Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ với độ dài các cạnh bằng 5 m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm $M$ trên đoạn thẳng $A{D}_1$ xuống một điểm $N$ trên đoạn thẳng $BD$ thỏa mãn $AM=DN$. Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông có cạnh nhỏ hơn 3, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=3\sqrt{2}$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt các cạnh $SB,SC,SD$ theo thứ tự tại các điểm $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$. Biết diện tích tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Cạnh hình vuông có độ dài bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông có cạnh nhỏ hơn 3, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=3\sqrt{2}$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt các cạnh $SB,SC,SD$ theo thứ tự tại các điểm $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$. Biết diện tích tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Cạnh hình vuông có độ dài bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(0,75 điểm) Trong đợt cứu trợ đồng bào miền Trung, Ban chỉ huy tìm kiếm cứu nạn thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị đo là km) để định vị các mục tiêu. Trục $Oy$ mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A đang ngập nước nhưng xe lội nước chuyên dụng vẫn có thể di chuyển được. Hai chiếc Flycam trinh sát đang bay tại hai vị trí cố định:
- Flycam A di chuyển đến vị trí $A(3;2;4)$.
- Flycam B di chuyển đến vị trí $B(-9;14;12)$.
Một xe trạm thu phát tín hiệu di chuyển trên Quốc lộ 1A để nhận dữ liệu từ cả hai Flycam. Để đường truyền ổn định nhất và tổng độ trễ tín hiệu là thấp nhất, xe cần tìm một vị trí $M$ trên đường sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam là nhỏ nhất.
Tìm tọa độ điểm $M$ và giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 2 và $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$. Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\sqrt{5}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $30^{\circ }$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $CD$, $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $BE$. Độ dài đoạn $SH$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc 20 $(m)$ và về phía Tây 10 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 0,7 $(m)$. Chiếc flycam thứ hai cách điểm xuất phát về phía Nam 30 $(m)$ và về phía Đông 25 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 1 $(m)$. Trên mặt đất, người ta xác định một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính khoảng cách $(m)$ từ điểm xuất phát đến vị trí vừa xác định được (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).