Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $C{C}^{\prime }$ thỏa mãn $IC=3.I{C}^{\prime }$, và $G$ là trọng tâm tứ diện $B{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian, với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A(0;1;-2)$, $B(3;-4;0)$, $C(-5;2;0)$, $D(6;-3;7)$. Giá trị của biểu thức $P={\overrightarrow{AB}}^2-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}$ là bao nhiêu?

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đường chéo $A{C}^{\prime }=2a\sqrt{3},(a>0)$. Khi đó:

Trong không gian, với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tọa độ vecto đơn vị của trục $Oy$ là:

Một cột điện thẳng đứng với mặt đất bằng phẳng được dựng vuông góc với mặt đất tại điểm $O$. Trên mặt đất, có hai điểm $B$, $C$ phân biệt, đồng phẳng với điểm $O$ và cách đều $O$ các khoảng đều bằng 6m. Từ đỉnh $A$ của cột điện, người ta căng thẳng hai dây cáp đến $B$ và $C$ để giữ cho cột điện vững chắc. Biết rằng góc phẳng nhị diện $[B,OA,C]=135^0$ và góc $\left(\overrightarrow{AB},(OBC)\right)=45^0$. Giá trị của $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(1;0;2)$, $B(-1;2;2)$, $C(3;1;1)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho biểu thức $S=2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=6a-5b+3c$ có giá trị là bao nhiêu?

Trong không gian, với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là: