Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)\cdot \left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

Cho $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3$. Khi đó $J=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[4f(x)-3\right]\mathrm{d}x$ bằng:

Biết ${\int }_1^2\left[3f(x)-g(x)\right]dx=10$ và ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$. Tính ${\int }_1^{2}g(x)dx$.

Gọi $H_1$, $H_2$, $H_3$, $H_4$ là các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục $y=f(x)$ và trục hoành với $x$ lần lượt thuộc các đoạn $[1;2],[2;3],[3;4],[4;5]$ *(hình vẽ)*. Biết rằng, các hình $H_1$, $H_2$, $H_3$, $H_4$ lần lượt có diện tích bằng $\frac{9}{4}$, $\frac{11}{12}$, $\frac{11}{12}$ và $\frac{9}{4}$. Giá trị $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng bao nhiêu?

Giả sử $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2,\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3$ với $a<b<c$ thì $\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng?

Cho hai hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Giả sử ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=2$, ${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x=3$ với $a<b<c$ thì ${\int }_b^{c}f(x)\mathrm{d}x$ bằng?