Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3(3m+4)x+2025$ đồng biến trên $(2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(3m+4)=3\left[x^2-2mx+(3m+4)\right]$. Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ trên $(2;+\infty )$, tức $g(x)=x^2-2mx+3m+4\ge 0$ với mọi $x>2$. Đặt $g(x)$ có đỉnh tại $x=m$.
- Nếu $m\ge 2$: $g$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=m$, cần $g(m)=-m^2+3m+4\ge 0\iff m^2-3m-4\le 0\iff -1\le m\le 4$, kết hợp $m\ge 2$ được $2\le m\le 4$.
- Nếu $m<2$: $g$ giảm trên $(2;+\infty )$... thực ra khi $m<2$ thì $g$ tăng trên $(2;+\infty )$, nên chỉ cần $g(2)=4-4m+3m+4=8-m>0$, luôn đúng với $m<2$.
Vậy điều kiện là $m\le 4$. Các giá trị nguyên dương: $m\in \{1,2,3,4\}$, tổng $=1+2+3+4=10$.