Cho hàm số $y=-x^3-6x^2-(2m+9)x+4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2-12x-(2m+9)$.
a) $y^{\prime }(-1)=-3+12-(2m+9)=-2m$ → đúng.
b) Với $m=4$: $y^{\prime }=-3x^2-12x-17$, $\Delta =144-4\cdot 3\cdot 17=-60<0$ nên $y^{\prime }<0$ với mọi $x$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ → đúng.
c) Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\iff y^{\prime }\le 0\forall x\iff \Delta \le 0\iff 144-12(2m+9)\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$ → đúng.
d) Trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime \prime }=-6x-12>0$ nên $y^{\prime }$ đồng biến, $\sup y^{\prime }=y^{\prime }(-2)=3-2m$. Hàm nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$ $\iff 3-2m\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$. Các giá trị nguyên thuộc $[-8;8]$ là $m\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$: 7 giá trị → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2-12x-(2m+9)$; $y^{\prime }(-1)=-3+12-(2m+9)=-2m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=4$, $y^{\prime }=-3x^2-12x-17<0$ với mọi $x$ vì $\Delta =-60<0$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\iff y^{\prime }\le 0\forall x\iff 144-12(2m+9)\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime \prime }=-6x-12>0$ nên $y^{\prime }$ đồng biến, cần $y^{\prime }(-2)=3-2m\le 0\iff m\ge \frac{3}{2}$. Giá trị nguyên trong $[-8;8]$: $\{2;3;4;5;6;7;8\}$ — đúng 7 giá trị.