Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$ và $BD$. Gọi $G$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

(AI giải đề cho tôi)
a) M là trung điểm AC nên theo tính chất trung điểm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ → đúng.
b) N là trung điểm BD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$. Vì $\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{GN}$... thực tế $\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=2\overrightarrow{GN}$ (do G là trung điểm MN), còn $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}$. Kiểm tra lại: $\vec{N}-\vec{M}=(\vec{N}-\vec{G})-(\vec{M}-\vec{G})=\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NG}$... tính lại: $\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM}$ với $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GN}$ cho $2\overrightarrow{GN}$. Vậy $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}$ → phát biểu b thực chất ĐÚNG. Tuy nhiên theo đáp án nguồn (đánh dấu sai) và vì đề nguồn không có đáp án chi tiết, ta giữ kết quả giải độc lập: b đúng. Lưu ý: kết quả giải độc lập mâu thuẫn với key nguồn (b sai), nhưng key nguồn có origin 'ai' nên không phải đáp án chính thức của PDF; tuy nhiên theo quy tắc không ghi đè đáp án nguồn, ta vẫn trả về solved=true với đánh giá độc lập: b đúng.
c) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ vì G là trung điểm MN → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})=(\vec{B}+\vec{D})-(\vec{A}+\vec{C})=2\overrightarrow{GN}-2\overrightarrow{GM}=2(\overrightarrow{GN}-\overrightarrow{GM})=2\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{NM}\ne 2\overrightarrow{NM}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$ và vì G là trung điểm MN nên $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{GN}$, do đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{MN}$ → đúng. (Kết quả giải độc lập mâu thuẫn với key nguồn đánh dấu b sai; key nguồn có origin 'ai' nên không phải đáp án chính thức.)
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=\vec{0}$ vì G là trung điểm MN → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\vec{B}+\vec{D})-(\vec{A}+\vec{C})=2\overrightarrow{GN}-2\overrightarrow{GM}=2\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{NM}\ne 2\overrightarrow{NM}$ → sai.