Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, có đồ thị như hình vẽ.



Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-1}{f(x)-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $(1;3)$, cực tiểu tại $(-1;-1)$ và đi qua điểm $(0;1)$.

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=\pm 1$, nên $b=0$ và $c=-3a$.

Từ $f(0)=d=1$; $f(1)=a-3a+1=-2a+1=3\Rightarrow a=-1$; kiểm tra $f(-1)=2a+1=-1$ đúng.

Vậy $f(x)=-x^3+3x+1$, nên $f(x)-1=-x^3+3x=-x(x^2-3)$, có 3 nghiệm phân biệt $x=0,x=\pm \sqrt{3}$.

Tử số $x^2-1=0$ tại $x=\pm 1$, không trùng với các nghiệm của mẫu. Do đó mẫu triệt tiêu tại 3 điểm mà tử số khác 0, đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-1}{f(x)-1}$ có 3 đường tiệm cận đứng.