Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}\right)$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng a. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{A^{\prime }B}$ ?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120^{\circ }$ và $|\overrightarrow{u}|=2,|\overrightarrow{v}|=5$. Giá trị của $|\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}|$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;2)$, $B(-1;2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$. Tìm điểm $M(a;b;c)$ thuộc $d$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2=28$ biết $c<0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;3;2)$, $B(1;0;1)$, $C(5;-3;2)$. Biết rằng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2m$. Giá trị của $m$ là

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên $2a$, góc tạo bởi $A^{\prime }B$ và mặt đáy là $60^0$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $A^{\prime }C$ và $AM$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA=a$; $SB=a\sqrt{3}$ và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $SM$, $DN$.