Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong $60$ ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t)=-t^3+27t^2+262144$ (tấn) với $1\le t\le 60,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Tính số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12.
b) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ cao nhất vào ngày nào?
c) Trong khoảng thời gian nào thì sản lượng xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ giảm.

Công ty Son X cần làm những hộp hình trụ có thể tích 5lit. Giả thiết rằng vật liệu và chi phí dùng để sản xuất các mặt của hộp là như nhau. Tính bán kính **r** của đáy hộp để chi phí là bé nhất(đơn vị là cm và làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong một bể hình lập phương cạnh $1m$ có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành $ABCD$ và khoảng cách từ các điểm $A$, $C$ đến đáy bể tương ứng là $25cm$, $75cm$.

Tìm khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.

Một hộ gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn mỗi ngày sản xuất được $x$ chiếc chiếu $(0\le x\le 20)$. Chi phí biên để sản xuất $x$ chiếc chiếu (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau $C^{\prime }(x)=3x^2-4x+10$. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá 270 nghìn đồng/chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm $(0<x<2000)$, tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000x-x^2$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (nghìn đồng) $(0<t<300)$. Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?

Cho ngôi nhà có bức tường cao $8(m)$, một hàng rào cao $2,2(m)$ song song và cách bức tường đó một khoảng bằng $1,6(m)$. Một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà, thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu $(\text{đơn vị laˋ meˊt, keˆˊt quả laˋm troˋn đeˆˊn haˋng phaˆˋn tra˘m})$?

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hình dạng phần đất liền của hai xã được mô hình hóa bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$ (tham khảo hình vẽ ). Biết đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $(1;1)$, đơn vị trên mỗi trục là $60(m)$. Để thuận tiện cho giao thông hai xã, cần xây một chiếc cầu nối phần đất liền của hai xã này. Kỹ sư thiết kế được giao nhiệm vụ nghiên cứu chọn hai vị trí $A,B$ trên phần đất liền hai xã để đặt hai trụ cầu sao cho độ dài đoạn $AB$ là nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. (Đơn vị là mét, làm tròn đến hàng đơn vị)?