Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+3x^2+9x+2$.
a) Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
b) Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;0]$.
d) Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $f(1-x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=-x^3+3x^2+9x+2$, TXĐ $\mathbb{R}$.

a) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)$. Với $x\in (-1;3)$ thì $f^{\prime }(x)>0$; với $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-1;3)$, nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$.

b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Đổi dấu $f^{\prime }$ từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ nên điểm cực tiểu $(-1;-3)$ (vì $f(-1)=1+3-9+2=-3$); đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=3$ nên điểm cực đại $(3;29)$ (vì $f(3)=-27+27+27+2=29$). Khoảng cách $d=\sqrt{(3+1{)}^2+(29+3{)}^2}=\sqrt{16+1024}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}$.

c) Trên $[-2;0]$: $f(-2)=8+12-18+2=4$, $f(0)=2$, $f(-1)=-3$. Hàm nghịch biến trên $[-2;-1]$ và đồng biến trên $[-1;0]$ nên ${\min }_{[-2;0]}f=-3$ tại $x=-1$; ${\max }_{[-2;0]}f=4$ tại $x=-2$.

d) Đặt $g(x)=f(1-x)$, $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(1-x)$. $g^{\prime }(x)>0\iff f^{\prime }(1-x)<0\iff 1-x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )\iff x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$. Vậy $f(1-x)$ đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(2;+\infty )$.