Một hộ gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn mỗi ngày sản xuất được $x$ chiếc chiếu $(0\le x\le 20)$. Chi phí biên để sản xuất $x$ chiếc chiếu (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau $C^{\prime }(x)=3x^2-4x+10$. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá 270 nghìn đồng/chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?

Cho ngôi nhà có bức tường cao $8(m)$, một hàng rào cao $2,2(m)$ song song và cách bức tường đó một khoảng bằng $1,6(m)$. Một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà, thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu $(\text{đơn vị laˋ meˊt, keˆˊt quả laˋm troˋn đeˆˊn haˋng phaˆˋn tra˘m})$?

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hình dạng phần đất liền của hai xã được mô hình hóa bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$ (tham khảo hình vẽ ). Biết đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $(1;1)$, đơn vị trên mỗi trục là $60(m)$. Để thuận tiện cho giao thông hai xã, cần xây một chiếc cầu nối phần đất liền của hai xã này. Kỹ sư thiết kế được giao nhiệm vụ nghiên cứu chọn hai vị trí $A,B$ trên phần đất liền hai xã để đặt hai trụ cầu sao cho độ dài đoạn $AB$ là nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. (Đơn vị là mét, làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 10cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x$ (cm), rồi gập tấm nhôm lại như Hình 1 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. V (cm${}^3$) là thể tích lớn nhất của khối hộp. Tính V? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Thầy Lộc tham dự giải "Chạy việt dã do Công đoàn ngành Giáo dục Kon Tum năm 2024". Quãng đường thầy Lộc đi được biểu diễn bằng hàm số $s(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d$ (với $a\ne 0$) có đồ thị như hình bên dưới (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ, $s$ là quãng đường tính bằng km). Khi đó, vận tốc tối đa của thầy Lộc đạt được là bao nhiêu km/h? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức $h(t)=24t+5t^2-\frac{t^3}{3}$. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

Năm 2025, một cửa hàng cần nhập về tổng cộng 600 chiếc điện thoại. Cửa hàng sẽ nhập theo nhiều lô hàng, mỗi lô hàng chứa số lượng điện thoại bằng nhau. Chi phí vận chuyển là 50 USD cho mỗi lô hàng, cộng thêm một loại chi phí vận chuyển nữa là 3 USD cho mỗi chiếc điện thoại và phí này cả năm chỉ tính cho lần vận chuyển đầu tiên. Hỏi cửa hàng đó nên nhập mỗi lô hàng bao nhiêu chiếc điện thoại để chi phí vận chuyển cả năm 2025 thấp nhất.