Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(0;a;0)$, $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$, $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;-a;0)$. Tổng $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(2a-a;a-a;0)=(a;0;0)\ne \vec{0}$. → Sai.

b) $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;a;a)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, tích vô hướng $=0+0+a^2=a^2$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;-a;a)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=0+0+a^2=a^2\ne 0$. → Sai.

d) $M$ trung điểm $AD$: $M(0;\frac{a}{2};0)$; $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$: $N(a;0;\frac{a}{2})$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(a;-\frac{a}{2};\frac{a}{2})$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$. Tích vô hướng $=a^2-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$. Độ dài: $|\overrightarrow{MN}|=a\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$, $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$. Vậy $\cos =\frac{a^2}{a^2\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các vectơ bằng $(a;0;0)\ne \vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=a^2\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cosin góc bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$, không phải $\frac{\sqrt{3}}{3}$.