Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ). Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 2 và $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$. Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;-1;3)$, $B(4;2;-1)$ và $C(-1;1;2)$. $M(x;y;z)$ là điểm sao cho biểu thức $P=M{A}^2+3M{B}^2+2M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $x+y+z$ bằng

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Trên các cạnh $AD$ và $BC$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AD};3\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BC}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-5;2;0)$, $B(-4;-5;2)$, $C(0;-3;-2)$ và $D(4;0;0)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120^{\circ }$ và $|\overrightarrow{u}|=2,|\overrightarrow{v}|=5$. Giá trị của $|\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}|$ bằng

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{BAD}=\widehat{BA{A}^{\prime }}=\widehat{DA{A}^{\prime }}=60^{\circ }$; $A{A}^{\prime }=1$; $AB.AD=3$. Các điểm $M;N$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $A^{\prime }C$ và $C^{\prime }D$ sao cho $MN$ song song $B{D}^{\prime }$. Khi độ dài đoạn $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức $A{B}^2+A{D}^2$.