Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{AG}$ bằng:

Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt là: $9;5;7$ . Biết tập hợp điểm $M$ thỏa $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$ là một đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G_1,G_2$ là trọng tâm của các tam giác $A^{\prime }BD,B^{\prime }{D}^{\prime }C$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Trên các cạnh $SB,SD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SC$ tại $J$. Tính tỉ số $\frac{SJ}{SC}$

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{BAD}=\widehat{BA{A}^{\prime }}=\widehat{DA{A}^{\prime }}=60^{\circ }$; $A{A}^{\prime }=1$; $AB.AD=3$. Các điểm $M;N$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $A^{\prime }C$ và $C^{\prime }D$ sao cho $MN$ song song $B{D}^{\prime }$. Khi độ dài đoạn $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức $A{B}^2+A{D}^2$.

Cho tứ giác đều $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$; $E$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?