Chọn ngẫu nhiên 5 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 20. Xác suất để chọn được 5 số nguyên dương liên tiếp bằng

Hai thí sinh A và B cùng tham gia một cuộc thi vấn đáp. Cán bộ coi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi gồm $10$ câu hỏi khác nhau, được đựng trong $10$ phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng $1$ câu hỏi; thí sinh chọn $3$ phong bì để xác định câu hỏi của mình. Biết rằng bộ $10$ câu hỏi của các thí sinh là như nhau. Hai phong bì được gọi là giống nhau nếu chứa cùng một câu hỏi. Xác suất để $3$ phong bì A chọn và $3$ phong bì B chọn có ít nhất hai phong bì giống nhau là $\frac{a}{b}$ (trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{N}$). Tính $a^2+b^2$.

Câu 1. Cho một hình bát giác đều $ABCDEFGH$ nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$ như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên $\{9;10;11;12;13;14;15;16\}$ vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là $\frac{m}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m+n$ bằng bao nhiêu?

Một bàn cờ vua gồm $8\times 8$ ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,... Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính giá trị biểu thức $T=a+2b$.

Cho $(H)$ là đa giác đều 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm thuộc tập đỉnh của $(H)$. Xác suất để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác vuông là:

Khai triển nhị thức Newton đối với nhị thức $(1+2x{)}^6$ ta được 7 số hạng. Khai triển nhị thức Newton đối với nhị thức $(x^2-2{)}^5$ ta được 6 số hạng. Thực hiện phép nhân phân phối $f(x)=(1+2x{)}^6(x^2-2{)}^5$ và khi chưa rút gọn các số hạng có cùng bậc của $x$, ta được 42 số hạng. Chọn ngẫu nhiên 1 số hạng từ 42 số hạng trên. Tính xác suất để số hạng được chọn chứa $x^{12}$.

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên chẵn có 7 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số lẻ này giống nhau.