Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác $1$ và thỏa mãn ${\log }_a^2\left(\frac{a^2}{b}\right)\cdot {\log }_a(ab)-4=0$. Tính giá trị của biểu thức $T={\log }_{b}a+1$.

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{3\sin x+2}{\sin x+1}$ trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$. Khi đó giá trị của $M^2+m^2$ là

Tính thể tích $V$ của khối trụ có bán kính đáy $R$, chiều cao là $h$.

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước $50\text{ cm}\times 240\text{ cm}$, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng $50\text{ cm}$, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu $V_1$ là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và $V_2$ là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ và độ dài đường sinh $l$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Điểm $M$ trong hình vẽ là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$, $SA\perp (ABC)$ và $SA=a\sqrt{6}$. Khi đó khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng:

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_3(27a^5)$ bằng

Giả sử ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=-10$ và ${\int }_{-1}^{3}f(x)\mathrm{d}x=5$. Chọn biểu thức đúng.

Tập xác định $D$ của hàm số $y=(x-2{)}^{\frac{1}{3}}$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

Hàm số $y=4x^2-2x^4$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=5-t\\ z=2\end{array}$ thì $d$ có một vectơ chỉ phương là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị của đạo hàm $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ đã cho là

Cho hai số phức $z_1=2-i$ và $z_2=-1+i$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm biểu diễn của số phức $z_1+2z_2$ có tọa độ là

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;3;1)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ là

Nếu ${\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x=9$ thì ${\int }_{-1}^4[3-f(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $4a^2$ và chiều cao bằng $5a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Hàm số $F(x)=x^2\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_4(x^2-9)=2$ là

Một hộp chứa $4$ viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $4$ viên bi. Xác suất để $4$ viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là

Nếu $F(x)=x^3-7x+2e^x+C$ ($C$ là hằng số) thì $F(x)$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB=a\sqrt{3}$ và $BC=a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-1;2;2)$. Đường thẳng đi qua $M$ và song song với trục $Oy$ có phương trình là

Cho số phức $z=\frac{2+i}{3-2i}$, khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x+1$.

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=2$ và $u_2=6$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Số phức $z=6-9i$ có phần ảo bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_5{a}^{\frac{1}{7}}$ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $5^x>4$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(5;3;-3)$ và bán kính $R=3\sqrt{11}$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y-z+1=0$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của $(P)$?

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$?

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $6a^2$ và thể tích bằng $28a^3$. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Đặt $g(x)=f(x+1)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau $|z-1|=\sqrt{34},|z+1+mi|=|z+m+2i|$ và sao cho $|z_1-z_2|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị $|z_1+z_2|$ bằng:

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$, biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A(-1;0)$, tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$. Hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $(C)$ và hai đường thẳng $x=0;x=2$ có diện tích bằng $\frac{28}{5}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$, tiếp tuyến $d$ và hai đường thẳng $x=-1;x=0$ bằng

Xét số phức $z$ thỏa mãn $(1+2i)|z|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi có $\widehat{B^{\prime }BC}$ là góc nhọn, mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Xét các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn ${\log }_2(4y+4)-x=1+2^x-y$. Khi biểu thức $y+2^x$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức $x+5\cdot 2^y$ bằng

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần được tô màu trong hình vẽ) quanh trục $AB$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1\text{ cm}$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,AB$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;2;-2)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $H$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm $B$. Điểm $M$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, nhìn đoạn $AB$ dưới góc vuông và độ dài $MB$ lớn nhất. Tính độ dài $MB$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2(x^2-4x)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(2x^2-12x+m)$ có đúng $5$ điểm cực trị?