Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm $B$. Điểm $M$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, nhìn đoạn $AB$ dưới góc vuông và độ dài $MB$ lớn nhất. Tính độ dài $MB$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$. Hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(1;2;2)$ song song với mặt phẳng $(P):x-y+z+3=0$ đồng thời cắt đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}$ có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt phẳng mặt đất. Một tấm liếp tre phơi bánh tráng được mô phỏng bởi đoạn thẳng $AB$ có chiều dài $3$. Đặt đầu $B$ chạm đất tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Bóng của tấm liếp trên mặt đất là đoạn $BC$, với điểm $C$ nằm trên phần dương của trục $Ox$ và có tọa độ $C(3,6;0;0)$. Biết điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oxz)$ và có cao độ dương. Góc giữa tấm liếp $AB$ và mặt đất bằng $60^{\circ }$, đồng thời $\widehat{ABC}=120^{\circ }$. Giả sử tia sáng mặt trời chiếu dọc theo đường thẳng $AC$, hãy tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+3=0$. Gọi $M$ là điểm có hoành độ âm thuộc đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ bằng 2. Tung độ của $M$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=3+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+3z-2=0$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{-3}$ và $(P):2x-y+2z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c>0,\gcd (b,c)=1$ thỏa mãn $\Delta$ đi qua $M(1;5;-2)$, song song với $(P)$ và đồng thời tạo với $d$ một góc bé nhất. Tính $T=a^2+b^2+c^2$.