Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{-3}$ và $(P):2x-y+2z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c>0,\gcd (b,c)=1$ thỏa mãn $\Delta$ đi qua $M(1;5;-2)$, song song với $(P)$ và đồng thời tạo với $d$ một góc bé nhất. Tính $T=a^2+b^2+c^2$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;-2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):3x-y+2z-3=0$ có phương trình là

Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ $Oxyz$. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(5;6;-2)$. Gọi ${\alpha }^{\circ }$ là góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn (làm tròn đến độ). Khi đó giá trị của $\alpha$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;-3;4)$, đường thẳng $d:\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{-5}=\frac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):2x+z-2=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với $d$ và song song với $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-z-5=0$. Tọa độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2z+6=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=-1+t\\ z=-t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$). Đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, vuông góc và cắt $d$. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $\Delta$?