Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;0;0)$ và $M(1;1;1)$, mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi luôn đi qua đường thẳng $AM$ và cắt các trục $Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $b,c>0$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $ABC$ bằng

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua $A(1;-2;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;1;-1)$ có phương trình là:

Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $A{A}^{\prime }=5,AB=3,AD=4$. Tính khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$. (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Câu 5. Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với $1$ mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng $(P)$ thẳng đứng, đi qua hai điểm $C(10;50;0)$ và $D(30;10;0)$. Vị trí giao hàng là điểm $B$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí $A(40;30;120)$. Từ vị trí $A$, drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng $(P)$ đến vị trí giao hàng $B$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $B$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho 2 điểm $A(5;-4;2)$ và $B(1;2;4)$. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-3y+5z-9=0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(4;-3;5)$ và $B(2;-5;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x+1}{3}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+9}{13}$.