Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(1;2;2)$ song song với mặt phẳng $(P):x-y+z+3=0$ đồng thời cắt đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}$ có phương trình là

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm và $A=\Delta \cap d⟹A(1+t;2+t;3+t)$.

Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{MA}=(t;t;1+t)$.

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;1)$.

Do $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{MA}\perp \vec{n}⟺\overrightarrow{MA}\cdot \vec{n}=0$:
$t(1)+t(-1)+(1+t)(1)=0⟺1+t=0⟺t=-1.$
Với $t=-1$, ta có $\overrightarrow{MA}=(-1;-1;0)=-(1;1;0)$.

Kiểm tra tọa độ điểm $M(1;2;2)\notin (P)$ (vì $1-2+2+3=4\ne 0$).

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1;2;2)$ nhận $\vec{u}=(-1;-1;0)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
$\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-t\\ z=2\end{array}.$