Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 255 số nguyên $y$ thỏa mãn ${\log }_5(x^2+y)\ge {\log }_2(x+y)$?

Bất phương trình tương đương: ${\log }_2(x+y)-{\log }_5(x^2+y)\le 0$.

Điều kiện xác định: $x+y>0⟺y>-x$. Vì $x^2+y\ge x+y>0$ nên điều kiện chung là $y\in (-x;+\infty )$.

Xét hàm số $f(y)={\log }_2(x+y)-{\log }_5(x^2+y)$ trên $(-x;+\infty )$.
Đạo hàm:
$f^{\prime }(y)=\frac{1}{(x+y)\ln 2}-\frac{1}{(x^2+y)\ln 5}$
Với mọi $x\in \mathbb{Z}$, ta có $x^2\ge x⟹x^2+y\ge x+y$ và $\ln 5>\ln 2>0$, suy ra:
$(x^2+y)\ln 5>(x+y)\ln 2⟹f^{\prime }(y)>0,\forall y>-x.$
Do đó $f(y)$ là hàm số đồng biến trên $(-x;+\infty )$.

Vì $y\in \mathbb{Z}$ và $y>-x$, nên các giá trị nguyên của $y$ lần lượt là $-x+1,-x+2,-x+3,\dots$
Để có không quá 255 số nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình, điều kiện là nghiệm nguyên thứ 256 (nếu có) phải làm cho hàm số mang giá trị dương, tức là:
$f(-x+256)>0⟺{\log }_2(256)-{\log }_5(x^2-x+256)>0⟺8-{\log }_5(x^2-x+256)>0$
$⟺{\log }_5(x^2-x+256)<8⟺x^2-x+256<5^8=390625$
$⟺x^2-x-390369<0$
Giải bất phương trình bậc hai: $-624,3\le x\le 625,3$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-624;-623;\dots ;625\}$.

Số giá trị nguyên của $x$ là: $625-(-624)+1=1250$.