Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$. Biết $f(-1)=0$. Tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Gọi $S_1,S_2$ là diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính $S_2$, biết $S_1=\frac{401}{2022}$.

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$, ${\int }_1^{4}f(x)dx=5$ thì ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng:

Xét ${\int }_{\frac{1}{e}}^e\frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x$, nếu đặt $t=\ln x$ thì ${\int }_{\frac{1}{e}}^e\frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x$ bằng

Cho $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=f(2020-x)$ và ${\int }_3^{2017}f(x)dx=4$. Khi đó ${\int }_3^{2017}xf(x)dx$ bằng

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ thì ${\int }_0^2\left[2x-f(x)\right]\text{d}x$ bằng:

Hình 1 là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế sân khấu trong một cuộc thi thiết kế sân khấu ngoài trời tổ chức tại một quảng trường. Khi mở rộng sân khấu trung tâm, ta được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu trung tâm được mô tả như sau:
[IMAGE:img_q18_stage]

Bước 1. Vẽ hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $2$ và lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là $E,F,G,H$.
Bước 2. Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $B,C,H$ và hàm bậc hai đi qua ba điểm $F,D,A$.
Bước 3. Tương tự như Bước 2, vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $A,B,G$ và ba điểm $C,D,E$.
Biết rằng: Diện tích phần tô đen trong Hình 2 được cho bởi công thức: $\frac{p\sqrt{2}+q}{3}$.
Hãy tính giá trị của $p-3q$ (với $p,q$ là các số nguyên).

Biết ${\int }_0^{5}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{5}g(x)dx=-3$. Giá trị của ${\int }_0^5[f(x)-g(x)]dx$ bằng: