Cho hình chóp $S.ABCD$ biết $SA\perp (ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=3a,AD=4a$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SD$. Mặt phẳng $(AHK)$ hợp với mặt đáy một góc $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Diện tích đáy chữ nhật: $S_{ABCD}=AB\cdot AD=3a\cdot 4a=12a^2$.

Ta có $AK\perp SD$ và $AK\perp CD$ (do $CD\perp (SAD)$) nên $AK\perp (SCD)⟹AK\perp SC$.
Tương tự $AH\perp (SBC)⟹AH\perp SC$.
Suy ra $SC\perp (AHK)$, do đó góc giữa mặt phẳng $(AHK)$ và đáy $(ABCD)$ chính bằng góc tạo bởi $SC$ và đường vuông góc với đáy $SA$, tức là góc $\widehat{ASC}=30^{\circ }$.

Đường chéo đáy: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3a{)}^2+(4a{)}^2}=5a$.
Trong tam giác vuông $SAC$ vuông tại $A$:
$SA = \dfrac{{AC}}{{\tan 30^\circ}} = \dfrac{{5a}}{{\frac{1}{{\sqrt}}}}

}}}} = 5a\sqrt

.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V = \dfrac{1}

S_{ABCD} $\cdot$ SA = \dfrac{1}

$\cdot$ 12a^2 $\cdot$ 5a\sqrt

= 20\sqrt

a^3.$