Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Đồ thị hàm số $g(x)=\frac{1}{2-\sqrt{f(x)}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Hàm số $g(x)=f(x)-x+2$ và hàm số $h(x)=f(x)+4x-8$ có đồ thị minh họa như hình vẽ.



Giá trị của $f^{\prime }(2)$ bằng bao nhiêu?

Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=500\left(t^2+m{e}^{-t}\right)$, với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $m\le 0$ là tham số. Khi đó đạo hàm $f^{\prime }(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của $m$ bằng bao nhiêu?

Ông Hiệp có một mảnh đất hình tam giác $ABC$ với $AB=30m,BC=50m,CA=40m$. Ông muốn chia mảnh đất thành hai phần có diện tích bằng nhau cho hai người con. Tuy nhiên phần đất phía $AB,AC$ đều tiếp giáp mặt đường nên người đó muốn chia theo đoạn thẳng $MN$ (như hình vẽ) để hai người con đều có đất “hai mặt tiền” (thửa đất có hai mặt tiếp giáp với đường). Người cha muốn xây đoạn tường $MN$ cao $1,5m$ để chia đất với chi phí mỗi mét vuông tường là 250000 đồng. Chi phí ít nhất để xây đoạn tường $MN$ (tính theo đơn vị triệu đồng) là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$. Tính $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(-6;3;3)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2=2M{O}^2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=a^2+b^2+c^2$ bằng

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$ với $M$ là trung điểm cạnh $SD$. Co-sin góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BM$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ biết tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3AC$. Trên cạnh $C{C}^{\prime }$ lấy điểm $E$ sao cho $2E{C}^{\prime }=3EC$. Khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BE)$ bằng $6cm$. Gọi $d=(A^{\prime }BE)\cap (ABC)$, số đo của góc nhị diện $[A^{\prime },d,A]$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu $c{m}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$, trong đó $a\perp (P)$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ?

Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần luyện tập giải khối rubik $3\times 3$, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:



Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng $\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$.

Kết quả khảo sát 175 nhân viên văn phòng về chi phí trung bình cho mỗi suất ăn trưa của họ được tổng kết lại ở biểu đồ sau (đơn vị: nghìn đồng).

Biểu đồ tần số tương đối của nhân viên văn phòng phân theo chi phí ăn trưa trung bình



Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn đến hàng phần nghìn).

Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P(B)=0,8$, $P(A|B)=0,7$, $P(A|\overline{B})=0,45$. Tính $P(B|A)$.

Trong một giải thi đấu bóng chuyền, đội bóng chuyền của Hà Nội sẽ thi đấu hai trận. Trận thứ nhất đội bóng chuyền của Hà Nội có xác suất thắng là 0,6. Trận tiếp theo, xác suất chiến thắng của họ phụ thuộc vào kết quả trận trước đó. Nếu đội bóng chuyền của Hà Nội thắng trận trước đó, họ sẽ hưng phấn và xác suất để họ thắng là 0,7. Nếu đội bóng chuyền của Hà Nội thua trận trước thì họ sẽ mất tinh thần và xác suất để họ thắng là 0,5. Tính xác suất để đội bóng chuyền của Hà Nội thắng trận thứ hai.

Có hai hộp bi, hộp $I$ có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp $II$ có 10 bi trắng và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp $I$ chuyển sang hộp $II$. Sau đó, từ hộp $II$ lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Xác suất để 2 bi chuyển từ hộp $I$ sang hộp $II$ không cùng màu là $\frac{a}{b}$ (là phân số tối giản). Tính $a+b$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị hàm số $g(x)=f^{\prime }(x)$ là hai nhánh đường cong cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-5$, nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=-2$ là tiệm cận ngang. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $g(x)<-2$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.

b) Phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Nếu $\underset{[0;1]}{\max }f(x)=4$ thì tổng khoảng cách từ điểm bất kì trên đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ đến hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt[4]{5}$.

d) Nếu đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 thì phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tọa độ nguyên với hoành độ nguyên dương là $y=\frac{-7}{3}x+\frac{2}{3}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O$ và $AB=2a,AD=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $OA$ và $SH=\frac{3a}{2}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=a^3$.

b) Hình chiếu vuông góc của tam giác $SCH$ trên mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác $SCI$, với $I$ là hình chiếu của $H$ trên $BC$

c) Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là $45^{\circ }$

d) Khoảng cách từ điểm $C$ đến $mp(SAD)$ là $\frac{3\sqrt{10}}{20}a$

Chọn ngẫu nhiên đồng thời sáu số tự nhiên khác nhau thuộc đoạn $[1;25]$. Gọi $A$ là biến cố “Chọn được sáu số tự nhiên cùng là số chẵn”; $B$ là biến cố có “Chọn được sáu số tự nhiên cùng chia hết cho 3”; $C$ là biến cố có “Chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3”.

a) Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=A_{25}^6$.

b) Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{12}{25}$.

c) Xác suất của biến cố $B$ là $P(B)=\frac{1}{6325}$.

d) Xác suất của biến cố $C$ là $P(C)=\frac{1803}{6325}$.

Giả sử trong một nhóm người có 10 người nhiễm bệnh, 90 người còn lại là không nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 80\%, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là 9\%. Gọi $X$ là một người trong nhóm được xét nghiệm.

a) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh là $\frac{1}{2}$.

b) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh là $\frac{81}{161}$.

c) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm âm tính. Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh là $\frac{20}{839}$.

d) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm âm tính. Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh là $\frac{800}{839}$.

Cho hàm số $f(x)=\left(\frac{\cos 2x+\sin x}{\sin x-1}-1\right)\left({\cos }^2\frac{x}{2}-\frac{3m+1}{2}\right)$ với $m$ là tham số. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Hàm số $f(x)+\sin x\cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $4\pi$.

c) $\forall m\in \mathbb{R}$, phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d) $\forall m\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$ thì phương trình $f(x)=0$ có 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;2;-3)$, $B(1;-1;0)$, $C(-1;0;1)$, $D(-3;0;3)$.

a) Điểm đối xứng của $D$ qua $Ox$ là $D^{\prime }(3;0;-3)$.

b) $AC=2BC$.

c) Với điểm $M\in (Oxy)$ thỏa mãn $△MBC$ vuông cân tại $M$ và $x_M>0$ thì $\left(x_M+\frac{2}{5}\right)y_M=\frac{2}{5}$.

d) Với điểm $N$ bất kì thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N{A}^2+2N{B}^2-6N{C}^2+2N{D}^3$ bằng $60$.

Gọi $x$ là số thực dương sao cho tồn tại số thực $y$ không bé hơn 1 thỏa mãn
$$\left(x{y}^2+x-2y-1\right)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}.$$ Có bao nhiêu số nguyên trong tập các giá trị của biểu thức
$$P=\sqrt{6}\sin \left(\frac{\pi x}{5}-\frac{\pi }{4}\right)-3\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi x}{5}+\frac{\pi }{4}\right)?$$

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi $I$ là điểm bất kì trong không gian sao cho biểu thức $P=4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó thể tích khối chóp $I.ABC$ bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3-11x^2+cx-33$ và $g(x)=-3x^2+bx-25$ có dạng đồ thị như hình vẽ. Biết rằng $x_1$, $x_2$, $x_3$ dương



Khi biểu thức $P={\log }_{\frac{1}{2}}\left[a^3(c-b)\right]+3a(b-c)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=81a^2+(b-c{)}^2$

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khoảng cách giữa $AB$ và $B^{\prime }C$ là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, giữa $BC$ và $A{B}^{\prime }$ là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, giữa $AC$ và $B{D}^{\prime }$ là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Thể tích của khối hộp Thể tích của khối hộp $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ khi $a=3$.

Gọi $S$ là tập tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S$. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 45. (Tính gần đúng đến hàng phần trăm)

Một trường đại học kĩ thuật có 80\% sinh viên nam và 20\% sinh viên nữ. Trong số sinh viên nam có 85\% là người bản địa, số còn lại là sinh viên quốc tế. Trong số sinh viên nữ có 90\% là người bản địa, số còn lại là sinh viên quốc tế. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên nam và một sinh viên nữ. Biết rằng trong hai sinh viên được chọn ra có một sinh viên là người bản địa và một là sinh viên quốc tế, tính xác suất để sinh viên quốc tế được chọn ra là nữ. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)