Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi $I$ là điểm bất kì trong không gian sao cho biểu thức $P=4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó thể tích khối chóp $I.ABC$ bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.

Trả lời: 3,6

Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện đều $ABCD$. Khi đó:
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$

Gọi $K$ thỏa $4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=\vec{0}\iff 3\overrightarrow{KA}+4\overrightarrow{KG}=\vec{0}$



$$P=4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2=4{\left(\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KC}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KD}\right)}^2$$

$$=7I{K}^2+K{A}^2+K{B}^2+K{C}^2+K{D}^2$$

$$P_{\min }\iff I\equiv K.$$

$$V_{ABCD}=\frac{6^3\sqrt{2}}{12}=18\sqrt{2}\Rightarrow V_{OABC}=6\sqrt{2}$$

$$BO=6\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3};AO=\sqrt{6^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=2\sqrt{6}$$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ABO$, cho ta:

$$\frac{GO}{GA}\cdot \frac{MA}{MB}\cdot \frac{HB}{HO}=1\Rightarrow \frac{GO}{GA}.1.3=1\iff GA=3GO$$

Khi đó: $IA=\frac{3}{7}OA\Rightarrow V_{IABC}=\frac{3}{7}{V}_{OABC}=\frac{3}{7}.6\sqrt{2}=\frac{18\sqrt{2}}{7}\approx 3,6.$

[Ghi chú hiệu chỉnh, không phải bản in nguồn: dòng khai triển '= 7IK^2 + KA^2 + KB^2 + KC^2 + KD^2' trong bản in nguồn trang 30 thiếu hệ số 4 trước $K{A}^2$ (lỗi đánh máy của nguồn). Khai triển đúng là $P=7I{K}^2+4K{A}^2+K{B}^2+K{C}^2+K{D}^2$, vì các số hạng chéo triệt tiêu do $4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=\vec{0}$. Đáp số $3,6$ khớp bảng đáp án trang 9 và không thay đổi.