Cho hình hộp chữ nhật $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khoảng cách giữa $AB$ và $B^{\prime }C$ là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, giữa $BC$ và $A{B}^{\prime }$ là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, giữa $AC$ và $B{D}^{\prime }$ là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Thể tích của khối hộp Thể tích của khối hộp $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ khi $a=3$.

Đáp án: 54



Đặt $AB=x$, $AD=y$, $A{A}^{\prime }=z$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $B^{\prime }C$, ta có $BH$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $B^{\prime }C$ nên $d(AB,B^{\prime }C)=BH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{5}{4a^2}$. (1)

Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $A{B}^{\prime }$, ta có $BI$ là đoạn vuông góc chung của $BC$ và $A{B}^{\prime }$ nên $d(BC,A{B}^{\prime })=BI\Rightarrow \frac{1}{B{I}^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{5}{4a^2}$. (2)

Gọi $M$ là trung điểm của $D{D}^{\prime }$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta có mặt phẳng $(ACM)$ chứa $AC$ và song song với $B{D}^{\prime }$ nên $d(AC,B{D}^{\prime })=d(B{D}^{\prime },ACM)=d(D^{\prime },ACM)$.

Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AC$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $MJ$, ta có $d(D^{\prime },ACM)=d(D,ACM)=DK\Rightarrow \frac{1}{D{K}^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{4}{z^2}=\frac{3}{a^2}$. (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\frac{2}{z^2}=\frac{1}{2a^2}\iff z=2a\Rightarrow x=y=a$.

Thể tích khối hộp là $V=xyz=2a^3=54$.