Gọi $S$ là tập tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S$. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 45. (Tính gần đúng đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,02

Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega |=A_{10}^8-A_9^7$.

Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho 45.

Gọi $B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5. Do $0+1+2+...+9=45⋮9$ nên ta có các bộ số mà tổng chia hết cho 9 là: $B\setminus \{0,9\};B\setminus \{1,8\};B\setminus \{2,7\};B\setminus \{3,6\};B\setminus \{4,5\}$.

TH1: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{0,9\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên $a_8=5$, suy ra có $7!$ số

TH2: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{4,5\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên $a_8=0$, suy ra có $7!$ số

TH3: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\setminus \{1,8\}$ có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ và chia hết cho 5 nên có 2 trường hợp:
* $a_8=0$ có $7!$ số.
* $a_8=5$ có $6.6!$ số.
Suy ra trong trường hợp này có $7!+6.6!$ số.

Tương tự các trường hợp $B\setminus \{2,7\},B\setminus \{3,6\}$ mỗi trường hợp có $7!+6.6!$ số.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $|{\Omega }_A|=2.7!+3.(7!+6.6!)=38160$.

Vậy xác suất biến cố $A$ là $p(A)=\frac{|{\Omega }_A|}{|\Omega |}=\frac{38160}{A_{10}^8-A_9^7}=\frac{53}{2268}\approx 0,02$.