Giả sử trong một nhóm người có 10 người nhiễm bệnh, 90 người còn lại là không nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 80\%, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là 9\%. Gọi $X$ là một người trong nhóm được xét nghiệm.

a) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh là $\frac{1}{2}$.

b) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh là $\frac{81}{161}$.

c) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm âm tính. Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh là $\frac{20}{839}$.

d) Giả sử $X$ có kết quả xét nghiệm âm tính. Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh là $\frac{800}{839}$.

Xét các biến cố: $A$: “X có kết quả xét nghiệm dương tính”; $\overline{A}$: “X có kết quả xét nghiệm âm tính”; $B$: “X là người nhiễm bệnh”; $\overline{B}$: “X là người không bị nhiễm bệnh”.

Xác suất X là người bị nhiễm bệnh là $P(B)=\frac{10}{100}=0,1$. Xác suất X là người không bị nhiễm bệnh là $P\left(\overline{B}\right)=\frac{90}{100}=0,9$.

Đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 80\% nên ta có $P\left(A|B\right)=\frac{80}{100}=0,8$. $\Rightarrow P\left(\overline{A}|B\right)=1-P\left(A|B\right)=1-0,8=0,2$.

Đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là 9\% nên ta có $P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{9}{100}=0,09$. $\Rightarrow P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=1-P\left(A|\overline{B}\right)=1-0,09=0,91$.

a) Xác suất X là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,8}{0,1.0,8+0,9.0,09}=\frac{80}{161}$. Vậy mệnh đề SAI.

b) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là $P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=1-\frac{80}{161}=\frac{81}{161}$. Vậy mệnh đề ĐÚNG.

c) Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)}{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,2}{0,1.0,2+0,9.0,91}=\frac{20}{839}$. Vậy mệnh đề ĐÚNG.

d) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=1-\frac{20}{839}=\frac{819}{839}$. Vậy mệnh đề SAI.
a) Xác suất X là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là
$$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,8}{0,1.0,8+0,9.0,09}=\frac{80}{161}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ SAI.}$$
b) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm dương tính là
$$P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=1-\frac{80}{161}=\frac{81}{161}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ ĐUˊNG.}$$
c) Xác suất để $X$ là người nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là
$$P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)}{P\left(B\right).P\left(\overline{A}|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)}=\frac{0,1.0,2}{0,1.0,2+0,9.0,91}=\frac{20}{839}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ ĐUˊNG.}$$
d) Xác suất để $X$ là người không bị nhiễm bệnh, biết X có kết quả xét nghiệm âm tính là
$$P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=1-\frac{20}{839}=\frac{819}{839}.\text{Vậy mệnh đeˆˋ SAI.}$$