Chọn ngẫu nhiên đồng thời sáu số tự nhiên khác nhau thuộc đoạn $[1;25]$. Gọi $A$ là biến cố “Chọn được sáu số tự nhiên cùng là số chẵn”; $B$ là biến cố có “Chọn được sáu số tự nhiên cùng chia hết cho 3”; $C$ là biến cố có “Chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3”.

a) Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=A_{25}^6$.

b) Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{12}{25}$.

c) Xác suất của biến cố $B$ là $P(B)=\frac{1}{6325}$.

d) Xác suất của biến cố $C$ là $P(C)=\frac{1803}{6325}$.

a) Mệnh đề sai. Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )={\mathrm{C}}_{25}^6=177100$.

b) Mệnh đề sai. Có 12 số chẵn thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(A)={\mathrm{C}}_{12}^6=924$. Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{924}{177100}=\frac{3}{575}$.

c) Mệnh đề đúng. Có 8 số tự nhiên chia hết cho 3 thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(B)={\mathrm{C}}_8^6$. Xác suất của biến cố $B$ là $P(B)=\frac{{\mathrm{C}}_8^6}{177100}=\frac{1}{6325}$.

d) Mệnh đề đúng. Nhận xét: Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc dư 1. Thật vậy, xét số chính phương $n^2$ $(n\in \mathbb{N})$, ta có 3 trường hợp: Trường hợp 1: $n=3k$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=9k^2⋮3$. Trường hợp 2: $n=3k+1$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+1{)}^2=9k^2+6k+1$ chia 3 dư 1. Trường hợp 3: $n=3k+2$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+2{)}^2=9k^2+12k+4=(9k^2+12k+3)+1$ chia 3 dư 1. Vậy số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1. Ta chia 25 số tự nhiên trong đoạn [1;25] thành 2 nhóm: Nhóm 1 gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 (có 8 số); Nhóm 2 gồm các số tự nhiên không chia hết cho 3 (có 17 số). Để chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3 thì chỉ có thể thực hiện 1 trong 3 cách chọn: Cách 1: Cả 6 số được chọn đều nằm trong nhóm 1. Cách 2: Cả 6 số được chọn đều nằm trong nhóm 2. Cách 3: Chọn 3 số trong nhóm 1 và 3 số trong nhóm 2. Xác suất của biến cố $C$ là $P(C)=\frac{C_8^6+C_{17}^6+C_8^3\cdot C_{17}^3}{177100}=\frac{1803}{6325}$.
a) Mệnh đề sai.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )={\mathrm{C}}_{25}^6=177100$.
b) Mệnh đề sai.

Có 12 số chẵn thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(A)={\mathrm{C}}_{12}^6=924$.
Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{924}{177100}=\frac{3}{575}$.
c) Mệnh đề đúng.

Có 8 số tự nhiên chia hết cho 3 thuộc đoạn $[1;25]$. Suy ra $n(B)={\mathrm{C}}_8^6$.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B)=\frac{{\mathrm{C}}_8^6}{177100}=\frac{1}{6325}$.
d) Mệnh đề đúng.

Nhận xét: Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc dư 1.
Thật vậy, xét số chính phương $n^2$ $(n\in \mathbb{N})$, ta có 3 trường hợp:
Trường hợp 1: $n=3k$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=9k^2⋮3$.
Trường hợp 2: $n=3k+1$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+1{)}^2=9k^2+6k+1$ chia 3 dư 1.
Trường hợp 3: $n=3k+2$ $(k\in \mathbb{N})$. Khi đó $n^2=(3k+2{)}^2=9k^2+12k+4=(9k^2+12k+3)+1$ chia 3 dư 1.
Vậy số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1.
Ta chia 25 số tự nhiên trong đoạn [1;25] thành 2 nhóm
- Nhóm 1: Gồm các số tự nhiên chia hết cho 3. Có 8 số tự nhiên thuộc nhóm 1.
- Nhóm 2: Gồm các số tự nhiên không chia hết cho 3. Có 17 số tự nhiên thuộc nhóm 2.
Để chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3 thì chỉ có thể thực hiện 1 trong 3 cách chọn:
Cách 1: Cả 6 số tự nhiên được chọn đều nằm trong nhóm 1.
Cách 2: Cả 6 số tự nhiên được chọn đều nằm trong nhóm 2.
Cách 3: Chọn 3 số tự nhiên trong nhóm 1 và 3 số tự nhiên trong nhóm 2.
Xác suất của biến cố $C$ là $P(C)=\frac{C_8^6+C_{17}^6+C_8^3\cdot C_{17}^3}{177100}=\frac{1803}{6325}$.