Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;2;-3)$, $B(1;-1;0)$, $C(-1;0;1)$, $D(-3;0;3)$.

a) Điểm đối xứng của $D$ qua $Ox$ là $D^{\prime }(3;0;-3)$.

b) $AC=2BC$.

c) Với điểm $M\in (Oxy)$ thỏa mãn $△MBC$ vuông cân tại $M$ và $x_M>0$ thì $\left(x_M+\frac{2}{5}\right)y_M=\frac{2}{5}$.

d) Với điểm $N$ bất kì thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N{A}^2+2N{B}^2-6N{C}^2+2N{D}^3$ bằng $60$.

a) Điểm đối xứng của $D$ qua $Ox$ là $D^{\prime }(-3;0;-3)$. Chọn SAI.

b) Ta có $\overrightarrow{AC}=(-2;-2;4)\Rightarrow AC=2\sqrt{6}$; $\overrightarrow{BC}=(-2;1;1)\Rightarrow BC=\sqrt{6}\Rightarrow AC=2BC$. Chọn ĐÚNG.

c) Ta có $M\in (Oxy)\iff M(x;y;0)\Rightarrow \overrightarrow{MB}=(1-x;-1-y;0),\overrightarrow{MC}=(-1-x;-y;1)$. Theo bài ra, ta có $\{\begin{array}{l}M{B}^2=M{C}^2\\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2x\\ x^2+y^2+y-1=0\end{array}\Rightarrow 5x^2+2x-1=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{5}$. Vì $x_M>0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{6}}{5}\Rightarrow y=\frac{-2+2\sqrt{6}}{5}\Rightarrow \left(x_M+\frac{2}{5}\right)y_M=\frac{2}{5}$. Chọn ĐÚNG.

d) Lấy điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-6\overrightarrow{IC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}1-x+2(1-x)-6(-1-x)=0\\ 2-y+2(-1-y)-6(-y)=0\\ -3-x+2(-z)-6(1-z)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=0\\ z=3\end{array}\Rightarrow I(-3;0;3)\equiv D$. Khi đó: $D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=60$. Ta có $N{A}^2+2N{B}^2-6N{C}^2+2N{D}^3={\left(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2{\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DN}\right)}^2-6{\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2N{D}^3=2N{D}^3-3N{D}^2+D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=2N{D}^3-3N{D}^2+60$. Ta có $2N{D}^3-3N{D}^2+60=2ND\left(N{D}^2-2ND+1\right)+N{D}^2-2ND+60=2ND(ND-1{)}^2+(ND-1{)}^2+59\ge 59,\forall ND\ge 0$. Vậy $N{A}^2+2N{B}^2-6N{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $59\iff ND=1$. Chọn SAI.
a) Điểm đối xứng của $D$ qua $Ox$ là $D^{\prime }(-3;0;-3)$. Chọn SAI.
b) Ta có $\overrightarrow{AC}=(-2;-2;4)\Rightarrow AC=2\sqrt{6}$; $\overrightarrow{BC}=(-2;1;1)\Rightarrow BC=\sqrt{6}\Rightarrow AC=2BC$. Chọn ĐÚNG.
c) Ta có $M\in (Oxy)\iff M(x;y;0)\Rightarrow \overrightarrow{MB}=(1-x;-1-y;0),\overrightarrow{MC}=(-1-x;-y;1)$.
Theo bài ra, ta có:
$$\{\begin{array}{l}M{B}^2=M{C}^2\\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=2x\\ x^2+y^2+y-1=0\end{array}\Rightarrow 5x^2+2x-1=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{5}$$
Vì $x_M>0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{6}}{5}\Rightarrow y=\frac{-2+2\sqrt{6}}{5}\Rightarrow \left(x_M+\frac{2}{5}\right)y_M=\frac{2}{5}$. Chọn ĐÚNG.
d) Lấy điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn
$$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-6\overrightarrow{IC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}1-x+2(1-x)-6(-1-x)=0\\ 2-y+2(-1-y)-6(-y)=0\\ -3-x+2(-z)-6(1-z)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ y=0\\ z=3\end{array}\Rightarrow I(-3;0;3)\equiv D.$$
Khi đó: $D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=60$.
Ta có
$$N{A}^2+2N{B}^2-6N{C}^2+2N{D}^3={\left(\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2{\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DN}\right)}^2-6{\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DN}\right)}^2+2N{D}^3$$
$$=2N{D}^3-3N{D}^2+D{A}^2+2D{B}^2-6D{C}^2=2N{D}^3-3N{D}^2+60$$
Ta có $2N{D}^3-3N{D}^2+60=2ND\left(N{D}^2-2ND+1\right)+N{D}^2-2ND+60$
$$=2ND(ND-1{)}^2+(ND-1{)}^2+59\ge 59,\forall ND\ge 0.$$
Vậy $N{A}^2+2N{B}^2-6N{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $59\iff ND=1$. Chọn SAI.