Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O$ và $AB=2a,AD=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $OA$ và $SH=\frac{3a}{2}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=a^3$.

b) Hình chiếu vuông góc của tam giác $SCH$ trên mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác $SCI$, với $I$ là hình chiếu của $H$ trên $BC$

c) Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là $45^{\circ }$

d) Khoảng cách từ điểm $C$ đến $mp(SAD)$ là $\frac{3\sqrt{10}}{20}a$

a) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}a.2a.a=a^3$. Chọn ĐÚNG.

b) Kẻ $HM\perp BC$ và $HI\perp SM$. Từ đó suy ra $HI\perp (SBC)$. Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác $SCH$ trên mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác $SCI$, với $I$ là hình chiếu của $H$ trên $SM$. Chọn SAI.

c) Do $\{\begin{array}{l}HM\perp BC\\ SM\perp BC\end{array}$ nên góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là $SMH$. Ta có: $HM\parallel AB\Rightarrow \frac{HM}{AB}=\frac{CH}{CA}=\frac{3}{4}\Rightarrow HM=\frac{3}{2}a$. Tính $\tan SMH=\frac{SH}{HM}=1\Rightarrow SMH=45^{\circ }$. Chọn ĐÚNG.

d) Kẻ $HN\perp AD$ và $HK\perp SN$. Từ đó suy ra $HK\perp (SAD)$. Ta có: $d(C,(SAD))=4d(H,(SAD))=4HK$. Tính $HK=\frac{HN.HS}{\sqrt{H{N}^2+H{S}^2}}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{3a}{2}}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{20}a$. Vậy $d(C,(SAD))=4d(H,(SAD))=4HK=\frac{3\sqrt{10}}{5}a$. Chọn SAI.
a) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}a.2a.a=a^3$. Chọn ĐÚNG.
b) Kẻ $HM\perp BC$ và $HI\perp SM$. Từ đó suy ra $HI\perp (SBC)$.
Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác $SCH$ trên mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác $SCI$, với $I$ là hình chiếu của $H$ trên $SM$. Chọn SAI.
c) Do $\{\begin{array}{l}HM\perp BC\\ SM\perp BC\end{array}$ nên góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là $SMH$.
Ta có: $HM\parallel AB\Rightarrow \frac{HM}{AB}=\frac{CH}{CA}=\frac{3}{4}\Rightarrow HM=\frac{3}{2}a$.
Tính $\tan SMH=\frac{SH}{HM}=1\Rightarrow SMH=45^{\circ }$. Chọn ĐÚNG.
d) Kẻ $HN\perp AD$ và $HK\perp SN$. Từ đó suy ra $HK\perp (SAD)$.
Ta có: $d(C,(SAD))=4d(H,(SAD))=4HK$.
Tính $HK=\frac{HN.HS}{\sqrt{H{N}^2+H{S}^2}}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{3a}{2}}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2}}=\frac{3\sqrt{10}}{20}a$.
Vậy $d(C,(SAD))=4d(H,(SAD))=4HK=\frac{3\sqrt{10}}{5}a$. Chọn SAI.