Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị hàm số $g(x)=f^{\prime }(x)$ là hai nhánh đường cong cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-5$, nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=-2$ là tiệm cận ngang. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $g(x)<-2$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.

b) Phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Nếu $\underset{[0;1]}{\max }f(x)=4$ thì tổng khoảng cách từ điểm bất kì trên đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ đến hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt[4]{5}$.

d) Nếu đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 thì phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tọa độ nguyên với hoành độ nguyên dương là $y=\frac{-7}{3}x+\frac{2}{3}$

a) Đúng.

Ta có đạo hàm của $f(x)$ có dạng $g(x)=\frac{h(x)}{(x+d{)}^2}$. Do đó hàm số $y=g(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-d\Rightarrow -d=-1\Rightarrow d=1$. Suy ra $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{a{x}^2+2ax+b-c}{(x+1{)}^2}$. Do đó đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ có tiệm cận ngang: $y=a\Rightarrow a=-2$. Giao của đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ với trục tung: $x=0\Rightarrow y=b-c\Rightarrow b-c=-5$. Suy ra $f^{\prime }(x)=\frac{-2x^2-4x-5}{(x+1{)}^2}$. Khi đó $f^{\prime }(x)+2=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$. Vậy $f^{\prime }(x)<-2$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.

b) Đúng.

Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$ nên ta có bảng biến thiên



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $y=f(x)$ luôn cắt đường thẳng $y=0$ tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Sai.

Do hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $[0;4]$ nên $\underset{[0;1]}{\max }f(x)=f(0)=c\Rightarrow c=4$. Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-1$. Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-x+4}{x+1}=-2x+1+\frac{3}{x+1}$. Vậy đường thẳng $y=-2x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$. TCD ${\Delta }_1:x+1=0$; TCX ${\Delta }_2:2x+y-1=0$. Xét $M\left(m;-2m+1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)$ $(m\ne -1)$. Ta có: $d(M,{\Delta }_1)=|m+1|$; $d(M,{\Delta }_2)=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}$. $d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)=|m+1|+\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\ge 2\sqrt{|m+1|\cdot \frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}}=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$. Dấu "=" xảy ra $\iff |m+1|=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\iff m=-1\pm \sqrt[4]{\frac{9}{5}}$. Vậy $\min \left(d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)\right)=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.

d) Đúng.

Do đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên $c=2$. Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-3$. Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-3x+2}{x+1}=-2x-1+\frac{3}{x+1}$. Điểm $M\left(m;-2m-1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)(m\ne -1)$ có tọa độ nguyên khi $\{\begin{array}{l}m+1=\pm 3\\ m+1=\pm 1\end{array}\iff m\in \{-4;-2;0;2\}$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(2;-4)$ là $y=\frac{-7}{3}x+\frac{2}{3}$.
a) Đúng.

Ta có đạo hàm của $f(x)$ có dạng $g(x)=\frac{h(x)}{(x+d{)}^2}$.
Do đó hàm số $y=g(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-d\Rightarrow -d=-1\Rightarrow d=1$.
Suy ra $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{a{x}^2+2ax+b-c}{(x+1{)}^2}$.
Do đó đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ có tiệm cận ngang: $y=a\Rightarrow a=-2$.
Giao của đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ với trục tung: $x=0\Rightarrow y=b-c\Rightarrow b-c=-5$.
Suy ra $f^{\prime }(x)=\frac{-2x^2-4x-5}{(x+1{)}^2}$. Khi đó $f^{\prime }(x)+2=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.
Vậy $f^{\prime }(x)<-2$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.
b) Đúng.

Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$ nên ta có bảng biến thiên



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $y=f(x)$ luôn cắt đường thẳng $y=0$ tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.
c) Sai.

Do hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $[0;4]$ nên $\underset{[0;1]}{\max }f(x)=f(0)=c\Rightarrow c=4$.
Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-1$.
Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-x+4}{x+1}=-2x+1+\frac{3}{x+1}$.
Vậy đường thẳng $y=-2x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$.
TCD ${\Delta }_1:x+1=0$; TCX ${\Delta }_2:2x+y-1=0$.
Xét $M\left(m;-2m+1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)$ $(m\ne -1)$. Ta có: $d(M,{\Delta }_1)=|m+1|$; $d(M,{\Delta }_2)=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}$.
$d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)=|m+1|+\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\ge 2\sqrt{|m+1|\cdot \frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}}=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.
Dấu "=" xảy ra $\iff |m+1|=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\iff m=-1\pm \sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.
Vậy $\min \left(d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)\right)=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.
d) Đúng.

Do đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên $c=2$
Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-3$.
Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-3x+2}{x+1}=-2x-1+\frac{3}{x+1}$.
Điểm $M\left(m;-2m-1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)(m\ne -1)$ có tọa độ nguyên khi
$$\{\begin{array}{l}m+1=\pm 3\\ m+1=\pm 1\end{array}\iff m\in \{-4;-2;0;2\}$$
Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(2;-4)$ là $y=\frac{-7}{3}x+\frac{2}{3}$.