Cho hàm số $f(x)=\frac{-2x+3}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=\frac{-2x+3}{x-2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x-2)-(-2x+3)}{(x-2{)}^2}=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ → đúng.

b) $f(0)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, đồ thị cắt trục tung tại $M\left(0;-\frac{3}{2}\right)$ → đúng.

c) Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{-2x+3}{x-2}=x-2m\iff -2x+3=(x-2)(x-2m)=x^2-(2m+2)x+4m$ (với $x\ne 2$).
$\iff x^2-2mx+4m-3=0$. $\Delta =4m^2-16m+12=4(m-1)(m-3)$. Hai điểm phân biệt khi $\Delta >0\iff m<1$ hoặc $m>3$ → đúng. (Kiểm tra: với $m$ bất kỳ, $x=2$ cho $4-4m+4m-3=1\ne 0$ nên không có nghiệm loại trừ.)

d) $\frac{-2x+3}{x-2}=x+2\iff -2x+3=x^2-4\iff x^2+2x-7=0$. Hai nghiệm phân biệt có tổng $x_1+x_2=-2$, nên hoành độ trung điểm $I$ là $\frac{x_1+x_2}{2}=-1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2-2mx+4m-3=0$ có $\Delta =4(m-1)(m-3)>0\iff m<1$ hoặc $m>3$; $x=2$ không bao giờ là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+2x-7=0$ có tổng hai nghiệm bằng $-2$, nên hoành độ trung điểm $I$ là $-1$.