Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$. Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }>0$ khi $x<-3$; $f^{\prime }<0$ khi $-3<x<3$ (do $(x-1{)}^2\ge 0$); $f^{\prime }>0$ khi $x>3$. Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$, nghịch biến trên $(-3;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$.

a) Trên đoạn $[-3;3]$, $f^{\prime }\le 0$ nên $f$ nghịch biến, do đó ${\max }_{[-3;3]}f=f(-3)$. → Đúng.

b) $f^{\prime }$ là đa thức bậc 4 với hệ số dương nên $f$ là đa thức bậc 5 với hệ số dương, suy ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$; do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. → Sai.

c) $g(x)=f(-2x+3)$, với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $g$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=3$, tức $x=0$: ${\min }_{[0;3]}g=g(0)=f(3)$, không phải $g(3)$. → Sai.

d) $h(x)=f(-x+5)$, với $x\in [0;8]$ thì $t=5-x\in [-3;5]$. Trên $[-3;5]$, $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ và đồng biến trên $[3;5]$ nên $\max f$ trên $[-3;5]$ là $\max \{f(-3),f(5)\}$. Từ $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$, tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$, do $f(1)<f(-3)$ (vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$) nên $f(5)>f(3)>f(-3)$. Vậy ${\max }_{[0;8]}h=h(0)=f(5)$, không phải $h(8)$ (và $h(8)=f(-3)$ thực chất là giá trị nhỏ nhất). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [-3;3]$: $(x-3)\le 0$, $(x+3)\ge 0$, $(x-1{)}^2\ge 0$ nên $f^{\prime }(x)\le 0$, tức $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$. Do đó ${\max }_{[-3;3]}f=f(-3)$. → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ có bậc 4 với hệ số dương nên $f$ là đa thức bậc 5 hệ số dương, do đó ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$; hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $g$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=3$, tức $x=0$: ${\min }_{[0;3]}g=g(0)=f(3)$, không phải $g(3)$. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;8]$ thì $t=5-x\in [-3;5]$. Trên $[-3;5]$: $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ và đồng biến trên $[3;5]$, nên $\max f$ trên $[-3;5]$ là $\max \{f(-3),f(5)\}$. Điều kiện $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$ tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$; vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $f(1)<f(-3)$, suy ra $f(5)>f(3)>f(-3)$. Vậy ${\max }_{[0;8]}h=h(0)=f(5)$, không phải $h(8)$ (và $h(8)=f(-3)$ thực chất là giá trị nhỏ nhất). → Sai.