Cho hàm số $y=f(x)=\left|x^3-3x^2+m\right|$, với $m$ là tham số.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2+m$, $g^{\prime }(x)=3x(x-2)$: cực đại tại $x=0$ giá trị $m$, cực tiểu tại $x=2$ giá trị $m-4$; $g$ tăng trên $(-\infty ;0)$, giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty )$.

a) Đúng. Đồ thị $g$ luôn cắt trục hoành khi $g$ có cả giá trị âm và dương, tức $m-4\le 0\le m\iff 0\le m\le 4$. Khi đó tồn tại $x$ với $g(x)=0$ nên $\min \left|g(x)\right|=0$.

b) Đúng. Với $m=2$, trên $[3;5]$ (nằm trong miền $x>2$) hàm $g$ đồng biến, $g(3)=27-27+2=2$, $g(5)=125-75+2=52$. Trên đoạn này $g(x)\ge 2>0$ nên $\min \left|g\right|=g(3)=2$.

c) Sai. Với $m<0$, trên $[0;1]$ có $g^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ nên $g$ nghịch biến; $g(0)=m$, $g(1)=m-2$, cả hai đều âm. Do đó $\left|g\right|=-g$ đồng biến, max tại $x=0$ bằng $-m>0$, không thể bằng $m<0$.

d) Sai. Trên $[-2;2]$: $g$ tăng trên $[-2;0]$, giảm trên $[0;2]$, nên max $g=m$ (tại $x=0$), min $g=\min (g(-2),g(2))=\min (m-20,m-4)=m-20$. Xét $\min |g|=10$:
- Nếu $m\ge 20$: $\min |g|=m-20=10\Rightarrow m=30$ (thỏa).
- Nếu $m\le 0$: $\min |g|=-m=10\Rightarrow m=-10$ (thỏa).
- Nếu $0<m<20$: $g(0)=m>0$, $g(-2)=m-20<0$ nên $\min |g|=0\ne 10$, loại.
Vậy $m=30$ hoặc $m=-10$, tổng $m=20\ne 30$ → khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị luôn cắt trục hoành khi $m-4\le 0\le m$, tức $0\le m\le 4$; khi đó có nghiệm $g(x)=0$ nên $\min |g|=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $g$ đồng biến trên $[3;5]$, $g(3)=2$, $g(5)=52$, đều dương nên $\min |g|=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m<0$, $g$ nghịch biến trên $[0;1]$, $g(0)=m$, $g(1)=m-2$ đều âm nên max $|g|=-m>0$, không bằng $m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$: max $g=m$, min $g=m-20$. $\min |g|=10$ cho $m=30$ hoặc $m=-10$; tổng bằng 20, không phải 30.