Ông An muốn xây một bể cá dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $288m^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là $500$ nghìn đồng$/m^2$. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể cá một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu? (đơn vị triệu đồng).

Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán x chiếc máy ép hoa quả hằng tháng thì lợi nhuận thu được (triệu đồng) là $P(x)=-0,0002x^3+0,024x^2+1,2x-32$; $x\ge 0$. Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu?

Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước $3m\times 8m$. Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là $x$ để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ):

Một người cần đi từ khách sạn $A$ bên bờ biển đến hòn đảo $C$. Biết rằng khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển B là 10 km, khoảng cách từ khách sạn $A$ đến điểm $B$ trên bờ gần đảo $C$ nhất là 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ). Biết kinh phí đi đường thủy bằng thuyền là 5 USD/km, đi đường bộ bằng xe taxi là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đơn vị ki-lô-mét).

Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm có chiều ngang 80m, một bên cao 40 m và một bên cao 30 m. Một cây cầu sẽ được xây dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây.

Con đường $XY$ xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình $y=\frac{x^3}{25600}-\frac{3x}{16}+35$. Hai cột đỡ dọc $MN$ và $PQ$ (song song với trục $Oy$) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường $XY$. Tính tổng độ dài đoạn $MN$ và $PQ$ biết rằng $N$ và $Q$ là hai điểm đối xứng qua $Oy$; $MN$ là đoạn có độ dài lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của đơn vị mét).

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong công viên giải trí. Trong mô hình được vẽ minh họa dưới đây, hồ nước được giới hạn bởi đồ thị hàm số
$$y=\frac{1}{10}\left(-x^3+9x^2-15x+56\right)$$
và các trục tọa độ.
Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số $y=-1,5x+18$. Người ta dự định xây trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Khi đó khoảng cách ngắn nhất bằng bao nhiêu?

Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào Gara ô tô Thành Công. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x$ (m), đoạn đường thẳng vào cổng Gara có chiều rộng $2,6m$. Biết kích thước xe ô tô là $5m\times 1,9m$. Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài $5m$, chiều rộng $1,9m$. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu để ô tô có thể đi vào Gara được? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).