Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong công viên giải trí. Trong mô hình được vẽ minh họa dưới đây, hồ nước được giới hạn bởi đồ thị hàm số
$$y=\frac{1}{10}\left(-x^3+9x^2-15x+56\right)$$
và các trục tọa độ.
Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số $y=-1,5x+18$. Người ta dự định xây trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Khi đó khoảng cách ngắn nhất bằng bao nhiêu?

Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào Gara ô tô Thành Công. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x$ (m), đoạn đường thẳng vào cổng Gara có chiều rộng $2,6m$. Biết kích thước xe ô tô là $5m\times 1,9m$. Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài $5m$, chiều rộng $1,9m$. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu để ô tô có thể đi vào Gara được? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào Gara ô tô Thành Công. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x$ (m), đoạn đường thẳng vào cổng Gara có chiều rộng $2,6m$. Biết kích thước xe ô tô là $5m\times 1,9m$. Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài $5m$, chiều rộng $1,9m$. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu để ô tô có thể đi vào Gara được? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một vùng đất hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=25km$, $BC=20km$ và $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ $A$ đi đến $C$ bằng cách đi thẳng từ $A$ đến một điểm $X$ thuộc đoạn $PQ$ rồi lại đi thẳng từ $X$ đến $C$. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần $ABQP$ là $15km/h$, vận tốc của ngựa khi đi trên phần $PQCD$ là $30km/h$. Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ $A$ đến $C$ là $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ giờ với $a,b,c$ nguyên dương và $(a;c)=1$; $b<20$. Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 18$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm trong một ngày? (đơn vị triệu đồng)

Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến $x$ phần ăn $(x\in [30;120])$ thì chi phí trung bình (đơn vị nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức $\overline{C}(x)=2x-230+\frac{7200}{x}$. Số phần ăn $x$ là bao nhiêu thì chi phí trung bình của mỗi phần ăn là thấp nhất?

Xí nghiệp $A$ sản xuất độc quyền một loại sản phẩm, Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC=x^3-77x^2+1000x+40000$ và hàm doanh thu là $TR=-2x^2+1312x$, với $x$ là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp $A$ được xác định bởi hàm số $f(x)=TR-TC$, cực đại lợi nhuận của xí nghiệp $A$ khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?