Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào Gara ô tô Thành Công. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x$ (m), đoạn đường thẳng vào cổng Gara có chiều rộng $2,6m$. Biết kích thước xe ô tô là $5m\times 1,9m$. Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô người ta coi ô tô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài $5m$, chiều rộng $1,9m$. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu để ô tô có thể đi vào Gara được? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hướng dẫn:





Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ. Khi đó $M(-2,6;m)$.

Gọi $B(-a;0)$ suy ra $A\left(0;\sqrt{25-a^2}\right)$. Phương trình $AB:\frac{x}{-a}+\frac{y}{\sqrt{25-a^2}}-1=0$.

Do $CD\parallel AB$ nên phương trình $CD:\frac{x}{-a}+\frac{y}{\sqrt{25-a^2}}-T=0$.

Mà khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ bằng $1,9$ m nên

$$\frac{|T-1|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{25-a^2}}\right)}^2}}=1,9\Rightarrow T=1+\frac{9,5}{a\sqrt{25-a^2}}.$$

Điều kiện để ô tô đi qua được là $M,O$ nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng $CD$.

Suy ra: $\frac{-2,6}{-a}+\frac{m}{\sqrt{25-a^2}}-1-\frac{9,5}{a\sqrt{25-a^2}}\ge 0$

$$\iff m\ge \sqrt{25-a^2}+\frac{9,5}{a}-\frac{2,6\times \sqrt{25-a^2}}{a}\text{đuˊng với mọi}a\in (0;5].$$

- Xét hàm số:

$$f(a)=\sqrt{25-a^2}+\frac{9,5}{a}-\frac{2,6.\sqrt{25-a^2}}{a}$$

trên nửa khoảng $(0;5]$.

Có

$$f^{\prime }(a)=-\frac{a}{\sqrt{25-a^2}}-\frac{9,5}{a^2}+\frac{65}{a^2\sqrt{25-a^2}}$$

$$=\frac{65-9,5.\sqrt{25-a^2}-a^3}{a^2\sqrt{25-a^2}}$$

$$\Rightarrow f^{\prime }(a)=0\iff a=3\in (0;5).$$

BBT:



(với $f(a)\to -\infty$ khi $a\to 0^{+}$)

Do đó $m\ge f(a),\forall a\in (0;5]$

$$\iff m\ge \frac{37}{10}=3,7.$$

Vậy $x=3,7$ là giá trị cần tìm.

Chú ý: Để cho nhanh, chúng ta có thể dùng chức năng TABLE trong máy tính:

$$f(X)=\sqrt{25-X^2}+\frac{9,5}{X}-\frac{2,6\times \sqrt{25-X^2}}{X}\text{với STEP}=\frac{5}{29};\text{START}=0;\text{END}=5.$$

Thấy giá trị lớn nhất của $f(X)=\sqrt{25-X^2}+\frac{9,5}{X}-\frac{2,6\times \sqrt{25-X^2}}{X}$ xấp xỉ $3,698$.

Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên gần nhất với giá trị $x=3,7$ (m)