Doanh số bán hệ thống âm thanh $X$ trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic $R=R(x)=\frac{5000}{1+5e^{-x}}$, $x\ge 0$, trong đó thời gian $x$ được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ mấy.

Nhà ông An muốn làm một tủ quần áo có dạng một khối hộp chữ nhật có thể tích bằng $16{\text{m}}^3$. Đáy tủ là hình chữ nhật có chiều dài gấp năm chiều rộng. Giá tiền mỗi mét vuông gỗ (tính luôn công) là 200000 đồng $/{\text{m}}^2$. Biết chi phí ít nhất để làm tủ cho ông An là $a$ triệu đồng. Hãy tính giá trị $a$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật lạ càng lớn. Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc $v$ của luồng khí liên hệ với bán kính $x$ của khí quản theo công thức: $v(x)=(x_0-x)x^2$ với $\frac{1}{2}{x}_0\le x\le x_0$. Trong đó $x_0$ là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường. Xét một người trưởng thành sức khỏe tốt có bán kính khí quản ở trạng thái bình thường bằng $10mm$. Tìm $x$ để vận tốc của luồng khí một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất (tính bằng đơn vị mm, làm tròn đến hàng phần trăm).

Một người chèo một chiếc thuyền xuất phát từ điểm $A$ trên bờ một con sông thẳng rộng $2km$, và muốn đến điểm $B$ cách bờ đối diện $10km$. Người này có thể chỉ chèo thuyền hoặc kết hợp chèo thuyền với chạy bộ, càng nhanh càng tốt. Chẳng hạn, anh ta có thể chèo thuyền qua sông đến điểm $C$ rồi chạy bộ đến điểm $B$, hoặc anh ta có thể chèo thuyền thẳng đến $B$, hoặc anh ta có thể chèo thuyền qua sông đến điểm $D$ nào đó ở giữa $C$ và $B$ rồi chạy bộ đến điểm $B$ (hình minh họa). Biết rằng vận tốc chèo thuyền của anh ta là $6km/h$ (đã tính vận tốc dòng nước), vận tốc chạy bộ của anh ta là $10km/h$. Trong tất cả các phương án đến $B$ bằng cách chèo thuyền hoặc chèo thuyền rồi chạy bộ, phương án nhanh nhất có tổng thời gian là bao nhiêu giờ? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Một tấm nhôm có dạng nửa hình tròn có bán kính $R=3$, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (như hình vẽ). Diện tích lớn nhất có thể của tấm nhôm hình chữ nhật là bao nhiêu?

Một khách sạn có 100 phòng cho thuê. Người quản lí của khách sạn nhận thấy rằng tất cả các phòng của khách sạn sẽ có người thuê hết nếu giá thuê một phòng là 500000 đồng một ngày. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê phòng thêm 50000 đồng thì sẽ có thêm 2 phòng bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi phòng một ngày là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất (đơn vị: triệu đồng).

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm $T$ được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $T$ là $x$ (USD) thì số sản phẩm $T$ các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x)=x-200$ và số sản phẩm $T$ mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200$ (USD). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a$ (USD) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ (biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất)