Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (hình bên dưới). Giải sử $s(t)$ (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức $s(t)=t^3-9t^2+15t$, $t\ge 0$. Hỏi có bao nhiêu giá trị $t$ nguyên để chất điểm chuyển động sang trái?

Một người đang lái xe máy, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc xe máy để lại vết trượt dài 8 $m$ (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình phanh, xe máy chuyển động theo phương trình $S(t)=12t-3t^2$, trong đó $S$ (đơn vị mét) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, $t$ (đơn vị giây) là thời gian từ lúc bắt đầu phanh $(0\le t\le 2)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một người đang lái xe máy, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc xe máy để lại vết trượt dài $8m$ (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm). Trong quá trình phanh, xe máy chuyển động theo phương trình $S(t)=12t-3t^2$, trong đó $S$ (đơn vị mét) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, $t$ (đơn vị giây) là thời gian từ lúc bắt đầu phanh $(0\le t\le 2)$.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Xét một chất điểm $M$ chuyển động trên đường nằm ngang, chọn $O$ làm gốc, chiều dương từ trái sang phải. Chuyển động của $M$ được cho bởi công thức $S(t)=t^3-3t^2-2$, với $t$ (giây), $t\ge 0$ là khoảng thời gian tính từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động. Gọi $OM$ là khoảng cách từ $M$ đến $O$ tính bằng (mét).

Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm $A(0;100)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc 5 m/s. Con còn lại bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ $B(60;80)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc 10 m/s như hình vẽ minh họa. Đặt $f(t)$ là khoảng cách mà hai con chuồn chuồn bay được sau thời gian $t$ (giây), $t\in [0;10]$. Biết $\underset{t\to 5^{-}}{\lim }\frac{f(t)-5\sqrt{85}}{t^2-25}=-\frac{a\sqrt{b}}{c}$, trong đó $a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và phân số $\frac{a}{c}$ tối giản. Giá trị của biểu thức $P=4a^2-b+c$ bằng?

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động là s(t) = 2 + 196t − 4,9t² trong đó t ⩾ 0 (đơn vị tính bằng giây) là thời gian chuyển động, s(t) (đơn vị tính bằng mét) là độ cao so với mặt đất của viên đạn tại thời điểm t.

Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình $s(t)=t^3-3t^2+5t+10$, trong đó $t>0$ với $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?