Xét một chất điểm $M$ chuyển động trên đường nằm ngang, chọn $O$ làm gốc, chiều dương từ trái sang phải. Chuyển động của $M$ được cho bởi công thức $S(t)=t^3-3t^2-2$, với $t$ (giây), $t\ge 0$ là khoảng thời gian tính từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động. Gọi $OM$ là khoảng cách từ $M$ đến $O$ tính bằng (mét).

Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm $A(0;100)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc 5 m/s. Con còn lại bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ $B(60;80)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc 10 m/s như hình vẽ minh họa. Đặt $f(t)$ là khoảng cách mà hai con chuồn chuồn bay được sau thời gian $t$ (giây), $t\in [0;10]$. Biết $\underset{t\to 5^{-}}{\lim }\frac{f(t)-5\sqrt{85}}{t^2-25}=-\frac{a\sqrt{b}}{c}$, trong đó $a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và phân số $\frac{a}{c}$ tối giản. Giá trị của biểu thức $P=4a^2-b+c$ bằng?

Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động là s(t) = 2 + 196t − 4,9t² trong đó t ⩾ 0 (đơn vị tính bằng giây) là thời gian chuyển động, s(t) (đơn vị tính bằng mét) là độ cao so với mặt đất của viên đạn tại thời điểm t.

Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình $s(t)=t^3-3t^2+5t+10$, trong đó $t>0$ với $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $S(t)=\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+3t-1$ (t được tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=4$ là

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t)=-\frac{1}{2}{t}^3+12t^2$, $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động, $s$ (mét) là quãng đường vật chuyển động trong $t$ giây. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t=10$ (giây) là

Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-t^2+5t+2$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $s$ là quãng đường chuyển động của vật tính bằng mét. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=2$ là 9 (m/s).

b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t=3$ là 16 (m/s${}^2$).

c) Quãng đường chuyển động của vật tại thời điểm mà vận tốc của vật bằng 45 (m/s) là 70(m).

d) Vận tốc của vật tại thời điểm mà gia tốc của vật bằng 34 (m/s${}^2$) là 101 (m/s).