Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc tơ $\vec{a}=(1;1;-2)$; $\vec{b}=(1;0;m)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để $\left(\vec{a};\vec{b}\right)=60^{\circ }$. Số phần tử của $S$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(1;-1;2)$, $B(-2;0;3)$ và $C(0;1;-2)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(2;1;0)$, $B(1;1;3)$, $C(2;-1;3)$ và $D(1;-1;0)$.

Trong không gian, xét hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (hình bên dưới). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Khi một chiếc tàu thám hiểm có toa độ là $(25;15;0)$ đối với hệ toạ độ nói trên thì khoảng cách giữa tàu và ra đa là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Một chiếc khinh khí cầu bay lên từ địa điểm cho trước. Sau khoảng thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách địa điểm xuất phát 2,5 km về hướng nam và 1,7 km về hướng đông, đồng thời cách mặt đất là 0,6 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet. Tính khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu (đơn vị lấy theo kilomet và làm tròn đến 2 chữ số sau phần thập phân).

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 2 và $\widehat{BAD}=\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AD}=60^{\circ }$. Gọi $P$ và $Q$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{D^{\prime }A},\overrightarrow{C^{\prime }Q}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$. Tính độ dài đoạn thẳng $PQ$ (làm tròn đến một chữ số thập phân).

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=a$. Trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, kẻ $A^{\prime }H\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $H$.